Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Эффективное решение задачи Дирихле для дифференциальных уравнений в частных производных шестого порядка

Абелян, Сейран Оганесович (2019) Эффективное решение задачи Дирихле для дифференциальных уравнений в частных производных шестого порядка. PhD thesis, Национальный политехнический университет Армении.

[img] PDF (Thesis)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (1546Kb)
    [img] PDF (Abstract)
    Available under License Creative Commons Attribution.

    Download (397Kb)

      Abstract

      Теория краевых задач широко применяется при решении практических задач. При этом для эффективного применения этой теории необходимо определить, когда данная задача однозначно разрешима, или в более общей ситуации, определить дефектные числа (количество линейно независимых решений однородной задачи и количество линейно независимых условий разрешимости неоднородной задачи) задачи. В то время как вопросы нормальной разрешимости и вопрос вычисления индекса (разность дефектных чисел) в значительной мере решены (Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес, А.В. Бицадзе, Н.Е. Товмасян, А.П. Солдатов и др.), работ, посвященных определению дефектных чисел, существенно меньше, например, в работах А.П. Солдатова и Н.Е. Товмасяна рассматривались вопросы однозначной разрешимости задачи, т.е. случай, когда дефектные числа равны нулю. При этом точные значения дефектных чисел были получены для уравнений, порядок которых не более четырех (Н.Е. Товмасян, А.О. Бабаян). В случае уравнений шестого порядка возникает ряд осложнений, которые, в первую очередь, связаны с тем, что кратность корней характеристического уравнения может быть более трёх. Этот случай ранее не изучался, поэтому задачи, рассмотренные в работе, представляются актуальными. Исследовать граничные задачи Дирихле для правильно и неправильно эллиптических уравнений шестого порядка. Определить в явном виде линейно независимые решения однородной задачи Дирихле и условия разрешимости соответствующей неоднородной задачи. При некотором расположении корней характеристического уравнения определить в явном виде дефектные числа задачи Дирихле. Применяются методы теории аналитических функций и теории граничных задач. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Они обоснованы строгими математическими доказательствами․ Полученные теоретические результаты могут быть использованы при исследовании граничных задач, а также в теории упругости и в других областях, использующих методы теории граничных задачу. На защиту выносятся следующие положения։ если мнимая единица является трёхкратным корнем характеристического уравнения, задача однозначно разрешима. если мнимая единица является двухкратным корнем, один корень с положительной мнимой частью простой, а корень с отрицательной мнимой частью трёхкратный, получаем, что дефектные числа могут быть равны или нулю или единице. характеристическое уравнение имеет два различных корня (мнимая единица – простой корень, корень отличный от мнимой единицы - двухкратный) с положительной мнимой частью и один трёхкратный корень (не равный –i) с отрицательной мнимой частью. В этом случае имеем аналогичный результат. рассмотрен случай, когда характеристическое уравнение имеет один трёхкратный корень, отличный от мнимой единицы, с положительной мнимой частью, а остальные корни простые. В этом случае получена новая формула для определения дефектных чисел. Ատենախոսությունը նվիրված է վեցերորդ կարգի էլիպսական հավասարումների համար Դիրիխլեի խնդրի ուսումնասիրմանը միավոր շրջանում։ Օգտագործելով ընդհանուր լուծման ներկայացումը, խնդիրը բերվել է անվերջ բազմության գծային հանրահաշվական հավասարումների ուսումնասիրմանը, որը թույլ է տալիս արդյունավետ լուծել դիտարկվող եզրային խնդիրը։ Խնդրի դեֆեկտային թվերը (համասեռ խնդրի գծորեն անկախ լուծումների քանակը և անհամասեռ հավասարման գծորեն անկախ լուծելիության պայմանների քանակը) որոշվում են բացահայտ տեսքով հավասարումների գործակիցների միջոցով։ Ստացվել են հետևյալ արդյունքները․ եթե կեղծ միավորը բնութագրիչ հավասարման եռապատիկ արմատ է, ապա խնդիրը միարժեքորեն լուծելի է. եթե բնութագրիչ հավասարումն ունի երեք իրարից տարբեր արմատներ, որոնցից երկուսը (կեղծ միավորը կրկնապատիկ արմատ է, մյուսը՝ պարզ արմատ ( ից տարբեր)) դրական կեղծ մասով, իսկ երրորդը՝ եռապատիկ արմատ է ( ից տարբեր) բացասական կեղծ մասով։ Այս դեպքում ստացվել է, որ դեֆեկտային թվերը կարող են լինել զրո կամ մեկ. եթե բնութագրիչ հավասարումն ունի երեք իրարից տարբեր արմատներ, որոնցից երկուսը (կեղծ միավորը պարզ արմատ է, մյուսը՝ կրկնապատիկ արմատ ( ից տարբեր)) դրական կեղծ մասով, իսկ երրորդը եռապատիկ արմատ է ( ից տարբեր) բացասական կեղծ մասով։ Այս դեպքում ստացվել է նախորդին նման արդյունք. եթե բնութագրիչ հավասարումն ունի մի եռապատիկ արմատ ( ից տարբեր) դրական կեղծ մասով իսկ մնացած երեքը պարզ արմատներ են։ Այս դեպքում ստացվել է բանաձև դեֆեկտային թվերը որոշելու համար։ սահմանվել է եզրային ֆունկցիաների դաս, որտեղ դիտարկվող խնդիրը նորմալ լուծելի է. եթե կեղծ միավորի պատիկությունը նվազագույնը չորս է, այդ դեպքում խնդրի լուծելիության համար անհրաժեշտ է, որ եզրային ֆունկցիաները անալիտիկ շարունակվեն դեպի շրջանի ներս, ինչպես նաև անհրաժեշտ է եզրային ֆունկցիաների միջև ֆունկցիոնալ կախվածություն։ Ամեն դեպքի համար (երբ կեղծ միավորի պատիկությունը հավասար է չորս, հինգ և վեց) լուծելիության պայմանը որոշվում է բացահայտ տեսքով. եթե կեղծ միավորի պատիկությունը երեքից փոքր է, ստացվել են նոր բանաձևեր դեֆեկտային թվերը որոշելու համար։ եթե կեղծ միավորի պատիկությունը հավասար է երեքի, այդ դեպքում խնդիրը միարժեքորեն լուծելի է։ The dissertation is devoted to the research of the Dirichlet problem for elliptic equations of the sixth order in the unit disk. Using the general solution representation, the problem is reduced to the research of an infinite set of linear algebraic equations, which makes it possible to solve the considered boundary value problem effectively. Defect numbers of problem (the number of linearly independent solutions of a homogeneous problem and the number of linearly independent solvability conditions for an inhomogeneous problem) are determined in explicit form by the coefficients of the equation. if the imaginary unit is a triple root of the characteristic equations, then the problem is uniquely solvable. if the characteristic equation has three different roots and two of them (imaginary unit is a double root, the other one is a simple root (not equal ) ) has positive imaginary part and the third one is a triple root with negative imaginary part. We get that the defect numbers can be equal to zero or one. if the characteristic equation has three different roots and two of them (imaginary unit is a simple root, the other one is a double root (not equal ) ) has positive imaginary part and the third one is a triple root (not equal ) with negative imaginary part. In this case a similar result is obtained. if the characteristic equation has one triple root different from the imaginary unit with a positive imaginary part, and the rest of the roots are simple. In this case a new formula has been obtained to determine defect numbers. a class of boundary functions is defined in which the problem under consideration is normally solvable. if the imaginary unit has multiplicity of at least four, then for solvability of the problem it is necessary that the boundary functions continue analytically inside the disc, as well as the necessary functional dependence of the boundary functions. For each case (when the multiplicity of the imaginary unit is four, five and six) the solvability conditions are determined explicitly. if the multiplicity of an imaginary unit is less than three, new formulas for determining defect numbers have been obtained. if the multiplicity of an imaginary unit is three, then the problem is uniquely solvable.

      Item Type: Thesis (PhD)
      Additional Information: Վեցերորդ կարգի մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավսարումների համար Դիրիխլեի խնդրի արդյունավետ լուծումը: Effective solution of the Dirichlet problem for partial differential equations derivatives of the sixth order.
      Uncontrolled Keywords: Աբելյան Սեյրան Հովհաննեսի, Abelyan Seyran
      Subjects: Mathematics and Cybernetics
      Divisions: UNSPECIFIED
      Depositing User: NLA Circ. Dpt.
      Date Deposited: 19 Aug 2019 10:23
      Last Modified: 19 Aug 2019 10:23
      URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/10616

      Actions (login required)

      View Item