Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Асимптотическое решение смешанных краевых задач анизотропных полос и пластин на основе геометрически нелинейных уравнений теории упругости

Саркисян, Нарине Суреновна (2019) Асимптотическое решение смешанных краевых задач анизотропных полос и пластин на основе геометрически нелинейных уравнений теории упругости. PhD thesis, Институт механики НАН РА.

[img] PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (464Kb)
    [img]
    Preview
    PDF (Thesis)
    Available under License Creative Commons Attribution.

    Download (1179Kb) | Preview

      Abstract

      В современной технике составными элементами большинства конструкций являются однослойные и многослойные стержни, пластины и оболочки. Они обычно состоят из анизотропных материалов, иногда с существенно различными физико-механическими свойствами. Контакт между контактирующими слоями, в зависимости от условий работы, может быть как полным, так и неполным. В связи с этим разработка эффективных методов расчета элементов таких конструкций является актуальной. При исследовании напряженно-деформированного состояния (НДС) балок, пластин и оболочек применяются различные методы. Одним из самых распространенных методов расчета тонкостенных конструкций является метод гипотез. Важный пример теории, построенной методом гипотез, представляет собой классическая теория, базирующаяся на предположениях типа гипотез Бернулли-Кирхгофа-Лява. Основные уравнения анизотропной упругой слоистой пластинки на основе гипотезы Кирхгофа-Лява для всего пакета в целом получены С.Г.Лехницким. Теория анизотропных слоистых оболочек на основе той же гипотезы для всего пакета в целом построена С. А. Амбарцумяном. В дальнейшем были предложены различные уточненные теории. Большинство научных работ по этой проблеме посвящено разработке методов расчета изотропных и ортотропных однослойных и многослойных балок, пластин и оболочек, на основе геометрически линейной теории упругости. Другой важный метод изучения напряженно-деформированных состояний балок, пластин и оболочек-метод разложения по параметру толщины. Этим методом все искомые величины представляются в виде произведения двух функций, первая из которых есть функция от поперечной координаты, вторая- от координат срединной поверхности. В итоге получаются краевые задачи общего вида и все группы неизвестных приходится определять одновременно. Краевые задачи при асимптотическом методе имеют итерационный характер. Процесс их решения заключается в решении краевых задач, различающихся между собой только смыслом известных функций, входящих в правые части уравнений и в граничные условия. Сущность асимптотического метода заключается в представлении искомых величин в виде асимптотического специфического ряда по степеням некоторого безразмерного физического или геометрического малого (или большого) параметра и получением рекуррентных формул для вычисления неизвестных. Асимптотический метод определения НДС произвольных изотропных пластин и оболочек разработан А. Л. Гольденвейзером, К.О. Фридрихсом, А.Е. Грином. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек построена Л.А. Агаловяном. В теории анизотропных пластин и оболочек асимптотический метод получил развитие в работах Л.А.Агаловяна и его учеников Р.С. Геворкяна, А.М.Хачатряна, М. Л. Агаловяна, Л.Г. Гулгазарян и др. Изучению взаимодействия пластин и оболочек с различными физическими полями с использованием асимптотического метода посвящены работы С.А.Амбарцумяна, Г.Е.Багдасаряна, М.В.Белубекяна, С. О. Саркисяна, К настоящему времени разработаны различные варианты физически и гео-метрически нелинейной теории упругости изотропных и анизотропных тел. Создание новых, прикладных методов расчета слоистых балок, пластин и оболочек на основе линейной и нелинейной теории упругости, представляет большой теоретический и практический интерес. Диссертационная работа посвящена проблеме нахождения и изучения напряженно-деформированных состояний анизотропных слоистых полос и пластин при полном и неполном контактах между слоями на основе геометрически нелинейной теории упругости. Материалы слоев обладают анизотропией самого общего вида. Асимптотическим методом построены решения внутренней задачи. Показана эффективность выбранного метода для расчета таких элементов конструкций. Цель работы заключается в исследовании следующих вопросов: нахождение асимптотики решения и определения самого решения для краевых задач двухслойных анизотропных полос и пластин при полном и неполном контактах между слоями на основе геометрически нелинейной теории упругости; вывод для расчетных прикладных приложений рекуррентных формул для вычисления НДС анизотропных двухслойных полос и пластин при полном и неполном контактах между слоями, когда анизотропия общая. проведение сравнительного анализа решений по линейной и нелинейной теорий упругости и выявлении эффекта учета нелинейности в исходных уравнениях. Научная новизна. В работе рассмотрен новый класс задач для анизотропных двухслойных полос и пластин на основе геометрически нелинейной теории упругости, когда анизотропия общая. Найдены асимптотики и построены решения краевых задач анизотропных двухслойных полос и пластин, когда на лицевых плоскостях заданы смешанные условия теории упругости, а между слоями-условия полного или неполного контакта. Асимптотическим методом выведены системы разрешающих уравнений и расчетные формулы для определения всех компонентов тензора напряжений и вектора перемещения анизотропных двухслойных полос и пластин на основе геометрически нелинейной теории упругости. Указаны случаи, когда учет нелинейных членов становится необходимым. Практическая значимость. Результаты исследований, приведенных в работе, расширяют область применимости асимптотического метода, позволяют решить новый класс задач для слоистых анизотропных тел. Результаты могут быть использованы в конструкторских бюро по новой технике, в фундаментостроении, сейсмологии и др. областях. Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечены применением известных постановок задач, строгих математических методов, а также совпадением некоторых результатов вытекающих, как частные случаи, из полученных автором, с ранее известными. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Международной школе-конф. молодых ученых, посв. 70-летию НАН Армении. Цахкадзор, 1–4 октября, 2013. на VIII и IX Международных конференциях «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред». Горис-Степанакерт (22-26 сентявря, 2014, 01-06 октявря, 2018). на семинаре «Методы расчета тонкостенных систем» Института механики НАН Армении (2019 г.); на общем семинаре Института механики НАН Армении (2019г.). на семинарах кафедры математики Арцахского государственного университета (2012–2019 г.). Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 7 работах, список которых приводится в конце автореферата. Диссертационная работа изложена на 105 страницах, включая введение, три главы, заключение, библиографический список, содержащий 149 наименований цитируемой литературы и 2 рисунка. Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, дается краткий обзор работ отечественных и зарубежных авторов, связанных с рассмотренными в диссертации вопросами, а также краткое содержание работы. В обзоре наиболее полно отражены исследования, в которых используется асимптотический или близкое к нему методы. В первой главе методом асимптотического интегрирования двухмерных геометрически нелинейных уравнений теории упругости получены разрешающие уравнения и соотношения для определения и анализа напряженно- деформированных состояний двухслойных анизотропных полос при полном и неполном контакте между слоями. Слои полос обладают анизотропией общего вида. Построены решения, соответствующие внутреннему напряженному состоянию. Показано, что найденные уравнения и соотношения в первом приближении совпадают с соответствующими уравнениями и соотношениями тех же задач в линейной постановке. Рассмотрены численные примеры и показано, что поправки, обусловленные нелинейностью задачи, проявляются начиная с третьего приближения. В первом параграфе главы ставятся краевые задача для двухслойных анизотропных полос длиной I и шириной 2к при полном и неполном контакте между слоями. Считается, что слои имеют различные толщины кк, коэффици-енты упругости ],к — номер слоя(к = 1,2). Условия на продольных кромках задаются следующим образом: сгХУ =х), о֊® = £3а+у (х), при у = ^ } = £4^—, (х) у{2) = (х) при у = -Л2 где £ = Н/1 геометрический малый параметр. На линии раздела слоев задано одно из следующих условий контакта: Задача 1. На линии раздела слоев у = 0 заданы условия полного контакта: (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) &՝} =&՝}, <уу> =ау, V ; = V \ ии = и }(2) ху ху у у На линии раздела слоев у = 0 заданы следующие условия неполного контакта (скользящий контакт): (1)=ст(2), ст(1)=ст(2), у(1) = у(2), и(2) — и(1) = / (х) Задача 3. На линии раздела слоев у = 0 заданы условия неполного контакта - закон распределения тангенциальных напряжений:(1) = 2), сг(1) = ст(2) = у(х), у(1) = у(2) (4) Функция у(х) в (3) и в (4) считается заданным и в зависимости от выбранной модели контакта, может иметь различный вид. Требуется найти решение уравнений геометрически нелинейной теории упругости для анизотропной двухслойной полосы, когда на нижней и верхней сторонах полосы заданы условия (1), а на линии раздела слоев - условия полного или неполного контакта (2) - (4). Во втором параграфе для решения сформулированных краевых задач преобразуем геометрически нелинейные уравнения теории упругости анизотропного тела, вводя безразмерную координатную систему £ = х/1, £ = у/Н, а также безразмерные перемещения и(к) = и(кУI, У(к) = у(кУI. В резуль-тате получим, содержащую малый параметр £ = Н/1 при производных, сингу-лярно возмущенную систему, решение которой складывается из двух типов решений - внутреннего и типа пограничного слоя. Решение внутренней задачи ищется в виде специфических рядов по степеням малого параметра где ^(к)(^,С) любое из напряжений или безразмерных перемещений, £ - число приближений. Целое число дк подбирается так, чтобы получилась непротиворечивая система для определения 0;к 5) (£,С): Ատենախոսությունում ասիմպաոաիկ մեթոդը օգտագործված է ընդհանուր անիզոտրոպիայով օժտված երկշերտ հեծանների ու սալերի հաշվարկման համար, շերտերի միջև կոնտակտի լրիվ և ոչ լրիվ պայմանների դեպքում: Առաձգականության տեսության երկրաչափորեն ոչ գծային հավասարումներից դուրս են բերված երկշերտ հեծանների ու սալերի լարվածա-դեֆորմացիոն վիճակները նկարագրող միաչափ և երկչափ հավասարումներ, ինչպես նաև ռեկուրենտ բանաձևեր բոլոր լարումների և տեղափոխությունների հաշվման համար: Ստացված արդյունքները համեմատված են գծային տեսության հայտնի լուծումների հետ: Աշխատանքում բերված հետազոտությունների արդյունքները ընդլայնում են ասիմպտոտիկ մեթոդի կիրառության շրջանակները և հնարավորություն են տալիս լուծելու խնդիրների նոր դաս բազմաշերտ բարակապատ մարմինների համար: կարող են կիրառվել կոնստրուկտորական բյուրոներում, հիմքերի և հիմնատակերի կառուցման ժամանակ, սեյսմոլոգիայում և այլ բնագավառներում: Առաձգականության տեսության հարթ խնդրի երկրաչափորեն ոչ գծային հավասարումներից ասիմպտոտիկ մեթոդով արտածված են միաչափ դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք բնութագրում են անիզոտրոպ երկշերտի խառը եզրային խնդրի ներքին լարվածային վիճակը շերտերի միջև լրիվ կոնտակտի դեպքում: Կատարված է գծային և ոչ գծային տեսություններով ստացված արդյունքների վերլուծություն: Մասնավոր օրինակների վրա պարզաբանված են երկրաչափորեն ոչ գծայնությամբ պայմանավորված անդամների կարգերը: Գտնված է ասիմպտոտիկան և առաձգականության երկրաչափորեն ոչ գծային տեսությամբ լուծված է առաձգականության տեսության խառը եզրային խնդիր անիզոտրոպ երկշերտի համար, երբ շերտերի հպման գծի վրա տրված է տանգենցիալ տեղափոխությունների տարբերության բաշխման օրենքը, մասնավորապես ոչ կոշտ կոնտակտի մոդելը: Ստացված են բանաձևեր լարումների թենզորի և տեղափոխությունների վեկտորի բաղադրիչների որոշման համար: Առաձգականության երկրաչափորեն ոչ գծային տեսությամբ լուծված է առաձգականության տեսության խառը եզրային խնդիր անիզոտրոպ երկշերտի համար, երբ շերտերի հպման գծի վրա տրված է շոշոփող լարումների բաշխման օրենքը, մասնավորապես կուլոնյան շփման օրենքը: Ստացված են բանաձևեր լարումների և տեղափոխությունների վեկտորի բաղադրիչների որոշման համար: Առաձգականության տեսության տարածական խնդրի երկրաչափորեն ոչ գծային հավասարումներից դուրս են բերված ընդհանուր անիզո-տրոպիայով օժտված երկշերտ սալի համար մասնական ածանցյալներով երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ և ռեկուրենտ բանաձևեր, որոնք հնարավորություն են տալիս որոշելու երկշերտ սալերի լարվածա-դեֆորմացիոն վիճակները, երբ շերտերի հպման հարթության վրա տրված են լրիվ կոնտակտի պայմանները: Ստացված արդյունքները համեմատված են գծային տեսության լուծումների հետ: Մասնավոր օրինակների վրա պարզաբանված են երկրաչափորեն ոչ գծայնությամբ պայմանավորված անդամների կարգերը: Ասիմպտոտիկ մեթոդով անիզոտրոպ երկշերտ սալի համար երկրա-չափորեն ոչ գծային հավասարումներից դուրս են բերված մասնական ածանցյալներով երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ երբ սալի դիմային մակերևույթներից մեկի վրա տրված են լարումների թենզորի բաղադրիչների արժեքները, մյուսի վրա խառը եզրային պայմաններ, իսկ սալի շերտերի միջև տրված են տանգենցիալ տեղափոխությունների տարբերությունների բաշխման օրենքները: Ասիմպտոտիկ մեթոդով անիզոտրոպ երկշերտ սալի համար երկրաչափորեն ոչ գծային հավասարումներից դուրս են բերված գծային երկչափ մասնական ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ, երբ սալի դիմային մակերևույթներից մեկի վրա տրված են լարումների թենզորի բաղադրիչների արժեքները, մյուսի վրա խառը եզրային պայմաններ, իսկ սալի շերտերի հպման հարթության վրա տրված են շոշոփող լարումների բաշխման օրենքը, մասնավորապես' կուլոնյան շփման օրենքը: Ցույց է տրված ասիմպտոտիկ մեթոդի էֆեկտիվությունը ընդհանուր անիզոտրոպիայով օժտված երկշերտի և երկշերտ սալի համար առաձգա-կանության տեսության երկրաչափորեն ոչ գծային հավասարումներից միաչափ և երկչափ հավասարումները ստանալիս, երբ շերտերի միջև կոնտակտը լրիվ է կամ ոչ լրիվ: Asymptotic solutions of boundary problems of anisotropic two-layer strips and plates are constructed, when mixed conditions of elasticity theory are specified on the face planes, and conditions of complete or incomplete contact are set between layers. The asymptotic method is used to derive systems of resolving equations and calculation formulas for determining all components of the stress tensor and displacement vector of anisotropic two-layer bands and plate-based geometrically nonlinear theory of elasticity. In the dissertation work, in particular, the following new results were obtained. From the geometrically nonlinear equations of the plane problem of the theory of elasticity of an anisotropic body, the asymptotic method derived one-dimensional equations describing the internal stress-strain state of a two-layer strip with full contact between the layers. It is shown that the obtained equations and relations in the nonlinear theory in the zero approximation coincide with the corresponding equations and relations of anisotropic bands in the linear formulation of the problem. It is shown, that the corrections due to the nonlinearly of the problem appear from the third approximation. An asymptotic solution was found and a solution to the internal problem of an anisotropic two-layer strip was constructed, when mixed elasticity theory conditions were set on the longitudinal sides and the law of distribution of the difference tangential displacement, in particular, a no rigid contact model. Retrieved formulas for detecting stress tensor and displacement vector components. An asymptotic solution was found and a solution to the internal problem of an anisotropic two-layer strip was constructed, when mixed elasticity theory conditions were set on the longitudinal sides, and the law of tangential stress distribution, particular - the law of dry friction Coulomb. Formulas are obtained for determining all desired quantities. The asymptotics was found and two-dimensional equations were derived from the geometrically nonlinear equations of the spatial problem of elasticity theory for studying the stress-strain state of a two-layer anisotropic plate, when mixed elastic theory conditions are specified on the face planes, and full contact conditions are specified on the contact plane. It is shown that the equations derived by the asymptotic method and the relations for the zero approximation coincide with the equations of the plane problem of an anisotropic two-layer plate, when for each layer there is a plane of elastic symmetry parallel to the middle plane of the plate. Asymptotic method from geometrically nonlinear equations of the spatial problem of the theory of elasticity derived linear two-dimensional partial differential equations for calculating a two-layer anisotropic plate, on the upper front plane of which the values of the corresponding components of the stress tensor are specified, and on the lower one the mixed conditions of elasticity theory. The solution of the internal problem is constructed and it is shown th

      Item Type: Thesis (PhD)
      Additional Information: Անիզոտրոպ շերտերի և սալերի խառը եզրային խնդիրների ասիմպտոտիկ լուծումները առաձգականության երկրաչափորեն ոչ գծային տեսության հիման վրա: Asymptotic solution of mixed edge problems of anisotropic band and plates on the basis of geometrically nonlinear equations of the theory.
      Uncontrolled Keywords: Սարգսյան Նարինե Սուրենի, Sarkisyan N. S.
      Subjects: Physics
      Divisions: UNSPECIFIED
      Depositing User: NLA Circ. Dpt.
      Date Deposited: 25 Oct 2019 14:49
      Last Modified: 01 Feb 2020 09:47
      URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/10743

      Actions (login required)

      View Item