Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Հիլբերտի եզրային անսահմանափակ տիրույթում անընդհատ ֆունկցիաների դասում

Աղեկյան, Սմբատ Արարատի (2019) Հիլբերտի եզրային անսահմանափակ տիրույթում անընդհատ ֆունկցիաների դասում. PhD thesis, ԵՊՀ.

Full text not available from this repository.

Abstract

Relevance of the topic. In this thesis there are investigated boundary value problems for elliptic equations in the half-plane. Riemann, Hilbert and Riemann- Hilbert problems are solved in the weighted spaces. This kind of problems arose during the investigation of boundary value problems of partial differential elliptic equations which have applications in physical processes. General solution of partial differential elliptic equations (system of equations) with constant coefficients is given by linear combination of analytic functions (I.N. Vekua [24], [25], A.V. Bitsadze [1], [2] ). The boundary value problems also is used in theory of singular integrals (F.D. Gakhov [4], N.I. Muskhelishvili [17], I.B. Simonenko [21], [22], B.V. Khvedelidze [12] , [13], G.S. Litvinchuk [16], N.E. Tovmasyan [23]). Let L is Lyapunov simple, closed curve. By G+ and G- we understand interior and exterior domains of curve L respectively. Riemann boundary value problem or conjugation problem in classical setting has the following statement: Find analytic function $ in G+ U G- with finite order in TO such that $+(t) - a(t)$-(t) = f (t),t e L, (1)where function a and f are defined in L and belong to Holder classes C5, S e (0,1]. Besides a(t) = 0 for any point of L and $± are the contractions of function $ on G± respectively. Function a is called coefficient of Riemann problem and f is called free member. The problem formulated above is often called the Hilbert problem, because it was first, considered by D. Hilbert essentially in the form in which it is stated. This problem was solved by F.D. Gakhov [4]. Then, B.V. Khvedelidze solved problem (1), provided that function f belongs to space Lp(L), (1 < p < to). In the works of I.B. Simonenko [21], [22] the same problem for Lp, (1 < p < to) was investigated with essentialy extended coefficient. For all these cases solution of the problem is given with Cauchy type integral of function f. Furthermore, if function f belongs to either classes C5, S e (0,1) or Lp(1 < p < to), then solution of the problem also belongs to respectively to the classes C5, S e (0,1) or Lp(1 < p < to) [5], [14], [16]. Boundary value problems when f e L1 becomes complicated as Cauchy type inte¬gral of function from L1 is not bounded operator belonging to Smirnov class E1 [11], [15]. In the works [8], [6] H.M. Hayrapetyan suggested new setting of the Riemann boundary value problem in space L1. This statement helped H.M. Hayrapetyan and his students P.E. Meliksetyan, M.S. Hayrapetyan, A.V. Tsutsulyan and others [7] , [9], [10] to investigate Riemann boundary value problem and elliptic differential equations associated with it in the weighted spaces. Particularly, for unit circle D+ = {z : |z| < 1}, T = {z : |z| = 1}, D- = {z : |z| > 1} considered as follows: Determine analytic function $ in D+ U D-, bounded or vanishing at infinity such that the following holds: lim ||$+(rt) - a(t)$-(r-1t) - f (t)||Li = 0, (2) r^1-0 where functions a and f are defined on T, a belongs to Holder classes Cs, S G (0, 1], besides a(t) = 0 at any point of T and f belongs to L1 space. Then, it was shown that this setting is regular. In other words, if function $ is a solution of Riemann boundary value problem with this setting for the function f from Holder classes or Lp(1 < p < <x) spaces, then it would be also a solution with the classical statement. Thus, attained results are generalization of classical results of theory of boundary value problems. Taking into consideration above mentioned reasons, we may conclude that studied problems in this thesis are relevant in the field of boundary value problems of differential equations in the weighted spaces. Object of study. Boundary value problems in the half-plane in weighted spaces. Goals. To study Hilbert boundary value problem in the half-plane in the class of con¬tinuous functions. To obtain necessary and sufficient conditions for solvability of the problem and determine solutions in explicit form. To study Riemann boundary value problem in the half-plane in the class of weighted continuous functions, where weight function is concentrated on finite number of singular points. To obtain necessary and sufficient conditions for solvability of the problem and determine solutions in explicit form. To study Riemann-Hilbert boundary value problem in the half-plane in the class of weighted continuous functions, where weight function is concentrated on finite number of singular points by transforming it into Riemann boundary value problem. To obtain necessary and sufficient conditions for solvability of the problem and determine solutions in explicit form. To study Riemann boundary value problem in the half-plane in weighted continuous functions, where weight function has infinite number of zeros on the real axis, to obtain necessary and sufficient conditions for solvability of the problem and determine solutions in explicit form. Research methods. In this work are applied methods of theory of analytic functions and boundary value problems. Scientific novelty. All the results of the thesis are novel. Theoretical and practical value. Generally speaking all the results have the¬oretical value and can be applied in the study of boundary value problems of dif¬ferential and integral equations. The results were reported during both republican and international conferences and seminars: Modern methods, problems and applications of operator theory and harmonic analysis. Rostov-on-don, Russia, April 21-26, 2019. Harmonic analysis and approximations, VII, dedicated to 90th Anniversary of Alexandr Talalyan, Tsaghkadzor, Armenia, September 16-22, 2018. Annual Conference, National Polytechnic University of Armenia, Yerevan, Armenia, October, 2016. Annual session 2016 of the Armenian Mathematical Union (AMU), dedicated to 110th anniversary of Artashes Shahinyan, Yerevan, Armenia, May 30- July 1, 2016.Ատենախոսությունը նվիրված է Ռիման-Հիլբերտի եզրային խնդրին կիսահարթութ- յունում, երբ եզրային ֆունկցիան պատկանում է Օ, Օ(p) դասերին, որտեղ p-ն կշռային ֆունկցիան է: Եզրային պայմանները հասկացվում են հավասարաչափ զուգամիտութ¬յան իմաստով: Աշխատանքում ստացվել են հետևյալ արդյունքները. Դիտարկվել է Հիլբերտի եզրային խնդիրը կիսահարթությունում հետևյալ դրված¬քով. Որոշել П±-nւմ անալիտիկ Փ±(շ) ֆունկցիաները այնպես, որ. հա ||Փ+(# + 1ց) — ռ^)Փ՜^ — ւ-ց) — ք(^)||ր = 0, ^ + 0 որտեղ ռ^) € ՕՏ ( —^; +^) և ք € (—^; +^): Ցույց է տրվել խնդրի նորմալ լուծելիությունը: Ստացվել է խնդրի լուծման տեսքը բացահայտ տեսքով: Դիտարկվել է Ռիմանի եզրային խնդիրը վերոնշյալ դրվածքով Օ(քյ) զուգամիտու: Երբ > 0,* = 1,2,...ա, ցույց է տրվել խնդրի նորմալ լուծելիությունը և ստացվել է ընդհանուր լուծման տեսքը բացահայտ տեսքով: Այն դեպքում, երբ թ + ս\ + ո2 + ... + ոա < —1 (ՍԱ = ], եթե -ն ամբողջ թիվ չի և ո*. =] — 1, եթե օ^-ն' ամբողջ է), ստացվել են անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ խնդրի լուծելիության համար: Երբ < — 1 ինչ-որ հ-ի համար, ցույց է տրվել, որ համասեռ խնդրի գծորեն անկախ լուծումների քանակը կախված է խնդրի գործակցի վարքից այդ եզակի կետի շրջակայքում: Ներմուծվել է ^°՛ գործակիցների դաս և ցույց է տրվել, որ խնդիրը նորմալ լուծելի է այդ դասին պատկանող կամայական գործակցի դեպքում: Այստեղ նույնպես ստացվել են անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ խնդրի լուծելիության համար և լուծումը գրվել է բացահայտ տեսքով: Դիտարկվել է Ռիման-Հիլբերտի եզրային խնդիրը Օ^) զուգամիտությամբ, է Ռիմանի եզրային խնդրին, որը դիտարկվել է երկրորդ գլխի առաջին մասում: Ցույց է տրվել, որ համասեռ խնդրի ընդհանուր լուծման մեջ մասնակցող բազման¬դամի գործակիցները բավարարում են որոշակի պայմանների, այդ պայմանները գրվել են բացահայտ տեսքով: Ցույց է տրվել խնդրի նորմալ լուծելիությունը: Դիտարկվել է Ռիմանի եզրային խնդիրը կիսահարթությունում կշռով անընդհատ ֆունկցիաների դասում, որտեղ կշռային ֆունկցիան ունի անվերջ թվով զրոներ իրական առանցքի վրա: Ներմուծվել է օժանդակ £(#) ֆունկցիա, որի միջոցով, ինչպես նաև հաշվի առնելով կշռային ֆունկցիայի զրոների վարքը անվերջությու¬նում, ցույց է տրվել խնդրի նորմալ լուծելիությունը: Ստացվել է խնդրի լուծման տեսքը բացահայտ տեսքով: Диссертационная работа посвящена граничной задаче Римана-Гильберта в полуплоскости когда граничные функции принадлежат классу С, С(р), где р весовая функция. Граничное условие понимается в смысле равномерной сходи¬мости. Получены следующые результаты. Изучена граничная задача Гильберта в полуплоскости в следующей по¬становке: определить аналитические в П± функции Ф±(г) так чтобы име¬ло место Иш ||Ф+(х + гу) — а(х)Ф-(х — гу) — /(х)||с = 0, у^+0 где а(х) € С5(—то;+то) и f € (—то;+то). Устанавливается что эта зада¬ча нормально разрешима. Общее решение этой задачи получено в явном виде. Рассматривается задача Римана в аналогичной постановке в сходимости т П| х X —I— Когда а— > 0, к =1, 2, ...т устанавливает-I х + г —=1 ся что эта задача нормально разрешима. В случае когда р + п1 + п2 +... + пт < —1 (п— = [а—], если а— — нецелое, п— = [а—] — 1, если а— — целое) получены необходимые и достаточные условие разрешимости этой задачи. Когда а— < — 1 для некоторого к устанавливается что количество линейно независимых решений однородной задачи зависит от поведения функции а(х) в окрестности точки х—. Вводится класс Д“ и устанавливается что при а(х) € Д“ задача нормально разрешима и найдено общее решение в явном виде. Рассматривается задача Римана-Гильберта в сходимости С(р), где р(х) = т 1 [ I—. Формулировка этой задачи приводится к граничной задаче х± I х + г —=1 Римана, рассмотренная в первой половине во второй главе. Устанаовлена что коэффициенты полинома участвующаяся в общее решение однородной задачи.

Item Type: Thesis (PhD)
Additional Information: Հիլբերտի եզրային անսահմանափակ տիրույթում անընդհատ ֆունկցիաների դասում:
Uncontrolled Keywords: Աղեկյան Սմբատ Արարատի
Subjects: Physics
Divisions: UNSPECIFIED
Depositing User: NLA Circ. Dpt.
Date Deposited: 27 Nov 2019 12:15
Last Modified: 15 Jan 2020 11:03
URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/10779

Actions (login required)

View Item