Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Ուղիղների օգտագործումը GC բազմություններում

Վարդանյան, Վահագն Կարենի (2019) Ուղիղների օգտագործումը GC բազմություններում. PhD thesis, ՀՀ ԳԱԱ.

[img] PDF (Thesis)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (1180Kb)
    [img] PDF (Abstract)
    Available under License Creative Commons Attribution.

    Download (614Kb)

      Abstract

      Actuality of the subject. It is a classic problem in mathematics to estimate the value of a function at certain points from known values at other points. The process of reconstructing a function, curve, surface from certain known data is called interpolation. In some sense, polyno¬mials are the simplest type of interpolants to work with, as their definition only involves a finite number of additions, subtractions, and multiplications. Also they can be easily differentiated or integrated. Univariate polynomial interpolation is a classical subject, with a long history and a well settled theory. It dates back to the Newton and the Lagrange fundamental solutions of the interpolation problem. Compared to that, the multivariate counterpart is much more complicated. It has only been systematically considered in the second half of the 20th century due to the development of computers. Another reason for the interest of multivariate problems was the emergence of new mathematical methods, as cubature formulae, finite element methods. Another connection is Algebraic Geometry, since the solvability of a multivariate interpolation problem relies on the fact that the interpolation points do not lie on an algebraic surface of a certain degree. These days, applications of multivariate polynomial interpolation range over many different fields of pure and applied mathematics. Interpolation theory finds applications in many prob¬lems, as numerical differentiation and integration, numerical solution of differential equations, evaluation of transcendental functions, typography, and the computer-aided geometric design of cars, ships, and airplanes. Purpose and goals of the thesis. The thesis consists of two parts. The first part is dedicated to the factorization of the fundamental polynomials of two and three variables. In the second part we provide an adjustment to the formulation and then prove a conjecture proposed by V. Bayramyan and H. Hakopian in a recent paper. The conjecture characterizes the number of usages of a line in a GC set, provided that the Gasca-Maeztu conjecture is true. The object of research. Multivariate polynomial spaces, n-independent and n-poised sets, GCn sets, maximal lines, Gasca-Maeztu conjecture, general principal lattices, Chung-Yao lattices, Carnicer-Gasca lattices. The methods of research. The methods of univariate and multivariate polynomial in¬terpolations are used. Also some methods of linear algebra and algebraic geometry are used. Scientific novelty. Necessary and sufficient conditions are provided for the factorization of fundamental polynomials of node sets in R2 of cardinality < 2n + [n/2] + 1 and of node sets in R3 of cardinality < 3n +1. A new simple proof of the Gasca-Maeztu conjecture for the case of n = 4 is provided. Then a correct formulation of a property established by V. Bayramyan and H. Hakopian on the usage of n-node lines in GCn sets is provided and then proved. Finally, an adjustment to the formulation of a conjecture proposed by V. Bayramyan and H. Hakopian on the usage of k-node lines in GCn sets, 2 < k < n + 2, is provided and then proved. Also counterexamples for the cases when the lines are not used at all are presented. Practical significance. Main results in the thesis are of theoretical nature but at the same time some of them can have practical application. For instance finding fundamental polynomials in the simplest possible form is significant from the point of view of applications. The characterization of independent and poised sets can be used in the mathematical problems where multivariate polynomial interpolation is considered. The following provisions are presented for the defence. Necessary and sufficient conditions are provided for the factorization of fundamental poly¬nomials of node sets in R2 of cardinality not exceeding 2n + [n/2] + 1 as a product of factors of at most second degree. Independence of node sets with 3n +1 nodes in R3. Necessary and sufficient conditions are provided for the factorization of fundamental polynomials of such node sets as a product of linear factors. A correction of a property on the usage of n-node lines in GCn sets established by V. Bayramyan and H. Hakopian. An adjustment of the formulation of a conjecture proposed by V. Bayramyan and H. Hakopian on the usage of k-node lines in GCn sets, 2 < k < n +2, is provided and then proved. Namely, by assuming that the Gasca-Maeztu conjecture is true, we prove that any k-node line t is not used at all, or it is used by exactly Q) nodes, where s satisfies the condition 2k — n — 1 < s < k. The approbation of obtained results. The results of the thesis were reported in the scientific seminars held in the department of Numerical Analysis of the Faculty of Informatics and Applied Mathematics of Yerevan State University, the International Conference Dedicated to 90th Anniversary of Sergey Mergelyan, 20-25 May, 2018, Yerevan, Armenia, Abstracts, pp. 37-38 ([5*]). the Emil Artin International Conference, Dedicated to 120th Anniversary Emil Artin, 29 May - 02 June, 2018, Yerevan, Armenia, Abstracts, p. 67 ([6*]). the International Conference Harmonic Analysis and Approximations VII, Dedicated to 90th Anniversary of Alexandr Talalyan, 16-22 September, 2018, Tsaghkadzor, Armenia, Abstracts, pp. 45-47 ([7*]). The results of the thesis were published in 4 scientific articles and reported in 3 international conferences which we bring at the end of the Synopsis. The structure and the content of thesis. The thesis consists of introduction, two parts each of which contains three chapters, summary and bibliography. The puplications of the author are [1*] - [7*]. The paper [8*] is accepted for publication. The number of references is 32. The content of the thesis is 101 pages. Այս թեզում մենք հետազոտվում են բազմաչափ միջարկմանը վերաբերվող որոշ խնդիրներ, մասնավորապես' ֆունդամենտալ բազմանդամների վերլուծումը արտադրիչների և ուղիղների օգտագործումը GC բազմություններում: Աշխատանքի առաջին մասում բերվում են անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ հարթության վրա տրված ոչ ավելի քան 2ո + [ո/2] + 1 կետերի բազմության ֆունդամենտալ բազմանդամների վերլուծության մասին: Ապացուցվում է, որ այս դեպքում բազմանդամները վեր են լուծվում առաջին և երկրորդ աստիճանի արտադրիչների արտադրյալի: Բերվում է նաև հակաօրինակ, որը ցույց է տալիս, որ ավելի շատ կետերի համար, ընդհանուր դեպքում, այդպիսի վերլուծություն չկա։ Այնուհետև ներկայացվում են անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ տարածության մեջ տրված ոչ ավելի քան 3ո + 1 կետերի բազմության n -անկախության և ֆունդամենտալ բազմանդամների գծային արտադրիչների վերլուծության վերաբերյալ: Երկրորդ մասում դիտարկվում են GCn բազմություններ, այսինքն n -ճշգրիտ բազմություններ, որտեղ ցանկացած կետ ունի ֆունդամենտալ բազմանդամ, որը գծային արտադրիչների (ուղիղների) արտադրյալ է: Ասում ենք, որ A կետը օգտագործում է l ուղիղը, եթե վերջինս A կետի ֆունդամենտալ բազմանդամի արտադրիչ է: Դիտարկվում է Գասքա-Մաեզթուի վարկածը ըստ որի' կամայական GCn բազմությունում կա մաքսիմալ ուղիղ, այսինքն ուղիղ, որը անցնում է բազմության n + 1 կետերով: Մինչ այժմ վարկածը ապացուցված է միայն n < 5 ֊ի համար: Այս թեզում տրվում է Գասքա-Մաեզթուի վարկածի պարզ ապացույց n = 4 դեպքի համար: Այնուհետև քննարկվում է Վ. Բայրամյանի և Հ. Հակոբյանի ստացած արդյունքը, որը պնդում է, որ եթե ճիշտ է Գասքա-Մաեզթուի վարկածը, ապա GCn բազմության n ֊կետանի ուղիղը օգտագործվում է կամ ճիշտ Q , կամ ճիշտ (n21) կետերի կողմից: Ապացուցվում է, որ այս պնդումը ճիշտ չէ n = 3 -ի համար: Բերվում է GC3 բազմության և նրանում 3 -կետանոց ուղղի օրինակ, որը չի օգտագործվում որևէ կետի կողմից: Ապացուցվում է, որ սա միակ հնարավոր հակաօրինակն է և վերը նշված պնդումը ճիշտ է n > 4 դեպքում: Այնուհետև, կատարելով որոշ ճշգրտում ձևակերպման մեջ, ապացուցվում է Վ. Բայրամյանի և Հ. Հակոբյանի կողմից առաջադրված վարկածը: Այն է' ենթադրելով, որ Գասքա-Մաեզթուի վարկածը ճիշտ է, ապացուցվում է, որ X GCn բազմության մեջ k ֊ կետանոց l ուղիղը կամ չի օգտագործվում ընդհանրապես կամ օգտագործվում է ճիշտ (2) կետերի կողմից, որտեղ s֊ը բավարարում է k-5 < s <k պայմանին և 5 = n + 1-k: Ցույց է տրվում, որ X-ում l-ը օգտագործող կետերի ենթաբազմությունը կազմում է GC բազմություն, եթե այն դատարկ չէ: Ապացուցվում է նաև, որ վերը նշված առաջին դեպքը բացառվում է, այսինքն ուղիղը անպայման օգտագործվող է, երբ k - 5 > 3 և p(X) >3 : Այստեղ p(X) -ը X-ի մաքսիմալ ուղիղների քանակն է: Վերջում բնութագրվում են GCn բազմությունների այն կոնստրուկցիաները, որտեղ կա k-կետանոց չօգտագործվող ուղիղ, երբ k -5 = 2 և p(X) > 3 : В диссертационной работе исследуются некоторые задачи, относящиеся к многомерной интерполяции, в частности, факторизации фундаментальных многочленов и использованию прямых в множествах GC . В первой части работы приводятся необходимые и достаточные условия для факторизации фундаментальных многочленов для множества с не более, чем 2n + [n/2] +1 точками на плоскости. Доказывается, что в этом случае многочлены могут быть представлены в виде произведения множителей первой и второй степени. Приводится контрпример, который показывает, что для множества с большим числом точек такого вида факторизации в общем случае не существует. Затем даются необходимые и достаточные условия для n-независимости и факторизации фундаментальных многочленов для множества с не более, чем 3n +1 точками, заданными в пространстве. Во второй части работы рассматриваются GCn множества, т. е. n - корректные множества, в которых каждая точка имеет фундаментальный многочлен, являющийся произведением линейных множителей. Скажем, что точка A использует прямую l, если последняя является множителем в фундаментальном многочлене точки A. Рассматриваeтся гипотеза Гаска-Маэзту, согласно которой любое GCn множество имеет максимальную прямую, т.е. прямую, проходящую через n + 1 точку множества. До сих пор эта гипотеза доказана только для n < 5 . В работе представляется простое доказательство гипотезы Гаска-Маэзту для случая n = 4.Далее обсуждается результат, установленный В. Байрамяном и А. Акопяном, в котором утверждается, что в случае, если гипотеза Гаска-Маэзту верна, то n -точечная прямая в множестве GCn используется либо точно (2) точками, либо точно (n-1) точками. Доказыватся, что это утверждение неверно при n = 3. Приводится пример множества GC 3 и 3 -точечной прямой, которая не используется никакой точкой. Затем доказывается, что это единственный возможный контрпример, и что приведенное выше утверждение верно в случае n > 4.

      Item Type: Thesis (PhD)
      Additional Information: Ուղիղների օգտագործումը GC բազմություններում
      Uncontrolled Keywords: Վարդանյան Վահագն Կարենի
      Subjects: Physics
      Divisions: UNSPECIFIED
      Depositing User: NLA Circ. Dpt.
      Date Deposited: 27 Nov 2019 13:34
      Last Modified: 16 Jan 2020 13:29
      URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/10783

      Actions (login required)

      View Item