Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Πn-ճշգրիտ և Πn-անկախ հանգույցների բազմությունների վերաբերյալ

Թորոյան, Սոֆիկ Զավենի (2016) Πn-ճշգրիտ և Πn-անկախ հանգույցների բազմությունների վերաբերյալ. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img] PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (464Kb)
    [img]
    Preview
    PDF (Thesis)
    Available under License Creative Commons Attribution.

    Download (14Mb) | Preview

      Abstract

      Հաշվողական մաթեմատիկայի շատ խնդիրներում հաճախ անհրաժեշտ է լինում խնդրի ձևակերպման մեջ մտնող բարդ ֆունկցիաները փոխարինել ավելի պարզերով: Այս նպատակով կիրառվում են տարբեր եղանակներ: Առավել տարածված և վաղ առաջացած մեթոդներից է բազմանդամային միջարկումը կամ ինտերպոլացիան: Ինտերպոլացիա տերմինը ներմուծվել է դեռևս 1650-ականներին, Ջ. Ուոլիսի կողմից, և իրենից ներկայացնում է որևէ ֆունկցիայի' որոշ կետերում ընդունած արժեքների միջոցով այդ ֆունկցիայի մոտավոր արժեքների հաշվումը միջանկյալ կետերում:Բազմանդամային միջարկման դեպքում որպես միջարկիչ ֆունկցիաներ օգտագործվում են բազմանդամներ, այսինքն տրված են կետեր, պահանջվում է գտնել բազմանդամ, որի գրաֆիկը ճշգրիտ անցնում է այդ կետերով: Մեկ փոփոխականի բազմանդամային միջարկման համար սպառիչ արդյունքներ ստացել են դեռևս Լագրանժը և Նյուտոնը, ընդ որում սկզբունքորեն տարբեր մոտեցումներով: Վերջին չորս-հինգ տասնամյակների ընթացքում մաթեմատիկայի շատ բաժիններում հետազոտությունների հիմնական ուղղությունը մի փոփոխականի ֆունկցիաների դեպքից տեղափոխվեց մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների դեպքի: Բազմաչափ բազմանդամային միջարկման խնդրի արդի ուսումնասիրությունը սկիզբ է առել 20-րդ դարի երկրորդ կեսից: Մի քանի փոփոխականի բազմանդամային միջարկման առաջին կարևոր արդյունքները ստացել են Բերզոլարին, Ռադոնը, ինչպես նաև Չանգը և Յաոն: Ներկայումս բազմաչափ բազմանդամային միջարկման տեսության մեջ կան շատ չլուծված կարևոր խնդիրներ: Մասնավորապես' լուծված չէ դեռևս 1982 թ.-ին Գասքայի և Մաեզթուի կողմից առաջադրված վարկածը, որը քննարկում ենք ատենախոսության մեջ: Ներկայումս բազմանդամային միջարկումը մոտարկումների տեսության և հաշվողական մաթեմատիկայի կարևոր բաժիններից մեկն է: Այն լայնորեն օգտագործվում է կիրառական մաթեմատիկայի բազմաթիվ խնդիրներում: Բազմանդամային միջարկումը կարևոր դեր է կատարում միաչափ շատ խնդիրների, ինչպես օրինակ' թվային ինտեգրման, դիֆերենցման, ոչ գծային հավասարումների և դիֆերենցիալ հավասարումների մոտավոր լուծման մեջ: Մի քանի փոփոխականի համապատասխան խնդիրներում հաճախ անհրաժեշտ է լինում բազմաչափ միջարկման կիրառությունը: Բազմաչափ բազմանդամային միջարկման խնդիրը սերտորեն առնչվում է հանրահաշվական երկրաչափության հետ, քանի որ դրա միակորեն լուծելիությունը հանգում է այն հարցին, թե արդյոք գոյություն ունի որոշակի աստիճանի հանրահաշվական կոր կամ մակերևույթ, որն անցնում է միջարկման բոլոր հանգույցներով: Полиномиальная интерполяция является одним из основных предметов в теории приближений и численного анализа. Термин интерполяция введен Джоном Уоллисом в 1655 году. Полное решение задачи одномерной полиномиальной интерполяции был получен Лагранжом и Ньютоном. Задача многомерной полиномиальной интерполяции является гораздо более сложной, чем ее одномерный аналог. Существование и единственность решения задачи зависят не только от количества узлов интерполяции, но также от их распределения. Обозначим через П„ пространство полиномов двух переменных суммарной степенью не больше чем п. Имеем следующее: N: = dimnn = (п+2). Множество узлов X называется П„-корректным, если задача интерполяции однозначно разрешаема для X и П„. Мы назовем полином р е П„ фундаментальным для узла А Е X, если он обращается в ноль во всех узлах X, кроме А. Следовательно, фундаментальный полином является кривой степени п, проходящей через все узлы X, кроме одного. Чанг и Яо ввели условие геометрической характеризации (GC) [K. C. Chung, T. H. Yao, On lattices admitting unique Lagrange representations, - SIAM J. Numer. Anal. , 14 (1977), 735-753.]. Множество узлов X c R2,#X = ( n+2), удовлетворяет условию геометрической характеризации для П„, или кратко GCn, если для любого узла А Е X существуют такие п прямые, которые проходят через все узлы Х\ [А], и не проходят через А. Другими словами, X - множество GCn , если все фундаментальные полиномы X являются произведениями линейных множителей. Будем говорить, что узел А Е X использует прямую (кривую), если эта прямая (кривая) является множителем фундаментального полинома узла А. Следовательно, во множествах GCn любой узел использует п прямых. Прямая, содержащая п + 1 узлов П„ -корректного множества X, называется максимальной. Максимальные прямые играют важную роль в исследовании GC множеств. В 1982 году Гаска и Маэзту представили гипотезу [M. Gasca and J. I. Maeztu, On Lagrange and Hermite interpolation in , Numer. Math., 39, (1982), 1-14], утверждающую, что каждое GCn множество имеет максимальную прямую. До настоящего времени гипотеза доказана только для п < 5. В диссертации мы приводим два доказательства гипотезы для п = 4. Новые, более простые доказательства помогают в исследовании общего доказательства гипотезы. The polynomial interpolation is one of the main subjects of Numerical Analysis and Approximation Theory. The term interpolation was introduced by J. Wallis in 1655. The complete solution for the univariate interpolation was given by Lagrange and Newton. The multivariate interpolation is much more complicated than its univariate counterpart. The uniqueness and existence of interpolating polynomial depend not only on the number of nodes, but also on the configuration of nodes. Denote the space of bivariate polynomials of total degree at most n by nn. We have that N: = dim nn = ("+2). A set of nodes X is called n„-poised if the interpolation problem is unisolvent for X and n„. We call a polynomial p £ nn fundamental for the node A £ X, if it vanishes at all the nodes of X but 4. Therefore, a fundamental polynomial is an algebraic curve of degree n running through all nodes of X but one. Chung and Yao introduced the condition of geometric characterization (GC) [K. C. Chung, T. H. Yao, On lattices admitting unique Lagrange representations, - SIAM J. Numer. Anal., 14 (1977), 735-753.]. A set of nodes X c R2,#X = ("+2) is said to satisfy the geometric characterization for n„, or briefly GC„, if for any node A £ X there are n lines passing through all the nodes of X\4, which do not pass through 4. In other words X is a GC„ set if all the fundamental polynomials of the set X are products of linear factors. We say that the node A £ X uses a line (curve), if the line (curve) is a factor in the fundamental polynomial of the node 4. Therefore, in GC„ set any node uses n lines. A line containing n + 1 nodes of n„-poised set X is called a maximal line. Maximal lines play an important role in investigation of GC sets. In 1982 Gasca and Maeztu conjectured that any GC„ set possesses a maximal line [M. Gasca and J. I. Maeztu, On Lagrange and Hermite interpolation in Rfc , Numer. Math., 39, (1982), 1-14]. Till now it was only proved for n < 5. In the thesis we bring two short and simple proofs of the conjecture for the case n = 4. New simple proofs are helpful for further investigation of the conjecture. Next we bring the definition of maximal curves, which are the generalizations of maximal lines. We call maximal an algebraic curve of degree fc, k < n, if it passes through exactly (1/2)fc(2n — fc + 3) nodes from a n„-poised set X. The maximality means that the curve passes through maximal possible number of n„-independent nodes.

      Item Type: Thesis (PhD)
      Additional Information: О множествах Πn-корректных и Πn-независимых узлов.
      Uncontrolled Keywords: Тороян Софик Завеновна
      Subjects: Mathematics and Cybernetics
      Divisions: UNSPECIFIED
      Depositing User: NLA Circ. Dpt.
      Date Deposited: 10 Mar 2017 09:50
      Last Modified: 29 Mar 2017 14:23
      URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4256

      Actions (login required)

      View Item