Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Բեզիեյի կորերով տվյալների մոտարկման ալգորիթմների մշակում

Նուրի, Ահմադ Սուլեյման (2014) Բեզիեյի կորերով տվյալների մոտարկման ալգորիթմների մշակում. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (305Kb) | Preview

    Abstract

    The thesis is devoted to development of numerical algorithms for data fitting problem by least squares method using quadratic and cubic Bezier curves. Below we give briefly a general characterization of the present investigation. The least squares method is one of the most efficient tools for data processing. The best fit in the least squares sense is the model for which the sum of squared residuals has its smallest value, a residual being the difference between an observed value and the value given by the model. For this purpose algebraic polynomials, exponential, logarithmic and other functions were commonly used. More recently, in connection with the development of computer technologies, along with the above mentioned classic functions, great attention is paid to the use of parametric curves and, in particular, splines and Bezier curves. Using parametric curves makes their representation independent of the choice of co-ordinate axes. Least squares curve fitting has found many applications in computer graphics, automatic design, pattern recognition and etc. Least squares problems fall into two categories, linear and nonlinear. The linear prob¬lem has a closed form solution while the nonlinear one leads to quite complicated computations. Parametric curve fitting is just a nonlinear problem. There are different approaches to solve this problem, each having its advantages and disadvantages. In recent years, the need in creating effective computational algorithms for data fitting problems has been greatly increased and stimulates the working out new numerical methods and their theoretical substantiation. Ատենախոսությունը նվիրված է Բեզիեյի քառակուսային և խորանարդային կորերով փորձարարական տվյալների մոտարկման հաշվողական ալգորիթմների մշակմանը փոքրագույն քառակուսիների մեթոդի կիրառմամբ:Փոքրագույն քառակուսիների մեթոդը ամենաարդյունավետ միջոցներից մեկն է փորձարարական տվյալների մշակման և հարթեցման խնդիրների լուծման համար: Մեթոդն ունի բազմապիսի կիրառություններ համակարգչային գրաֆիկայում, ավտոմատ նախագծման, պատկերների ճանաչողության և այլ ոլորտներում: Մոտարկողների դերում կարող են օգտագործվել տարբեր դասի ֆունկցիաներ, օրինակ, հանրահաշվական բազմանդամներ, աստիճանային, լոգարիթմական և այլ ֆունկցիաներ: Վերջին ժամանակներում, ի թիվս վերը թվարկված “դասական” ֆունկցիաների, առավել ուշադրություն է նվիրվում պարամետրական կորերի օգտագործմանը և, մասնավորապես, Բեզիեյի կորերին: Վերհիշենք նրանց սահմանումնները: Բեզիեյի քառակուսային կորը, որը որոշվում է Բ, Բ և Բ երեք հենքային կետերով, տրվում է Բ(է) =(1 - է)2Բ0 + 2է(1 - է)Բ1 + է2Բ2 , է 6 [0,1] արտահայտությամբ: Բեզիեյի խորանարդային կորը, որը որոշվում է արդեն Բ, Բ, Բ և Բ չորս հենքային կետերով, տրվում է Ը(է) =(1 - է)3 Բ0 + 3է(1 - է)2Բ1 + 3է2(1 - է)Բ2 + է3Ր3, է 6 [0,1] արտահայտությամբ: Փոքրագույն քառակուսիների խնդրի դրվածքը: Դիցուք ունենք տվյալների հավաքածու' զ,, է =1,2,- -,^: Քառակուսային կորի դեպքում պահանջվում է գտնել Բ,Բ և Բ հենքային կետերը այնպես, որ հետևյալ գումարը լինի փոքրագույնը' N E(Բ>,Բ,Բ,;ր') =Z\B(t:l)- զ, |2 : է =1 Խորանարդային կորի դեպքում պահանջվում է գտնել Բ, Բ, Բ և Բ հենքային կետերը այնպես, որ N £(Բ>, Բ, Բ, ԲՅ;ր1) =շ^(էք ) - զ, |2 է=1 գումարը լինի հնարավոր փոքրագույնը: Խնդրի դրվածքում մասնակցում են ^ =(էք,վ^), օ <էք <1հանգույցների հավաքածուները, որտեղ էք հանգույցը մինիմիզացնում է զ,- կետից մինչև պահանջվող կորի հեռավորությունը, այսինքն' 1 Տ(էք) - զ, խռան Տ(է) - զ, ի 0<է <Այստեղ բարդությունն այն է, որ որոշման են ենթակա նաև ԲԺ =(վ,վ,...,էքյ) հանգույցները: Սա առավել բարդ և հիմնարար դեր ունեցող այսպես կոչված պարամետրիզացիայի խնդիրն է, որը լուծում է պահանջում մոտարկման պրոցեսի հենց ընթացքում: Диссертационная работа посвящена разработке вычислительных алгоритмов аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов с использованием квадратичных и кубических кривых Безье. Метод наименьших квадратов является одним из наиболее эффективных средств решения задач обработки и сглаживания экспериментальных данных. Метод имеет множество применений в компьютерной графике, автоматическом проектировании, распознавании образов и других областях. В качестве аппроксимирующих могут использоваться функции различных классов, например, алгебраические многочлены, показательные, логарифмические и др. функции. В последнее время, наряду с упомянутыми выше “классическими” функциями, большое внимание уделяется использованию параметрических кривых и, в частности, кривых Безье. Напомним их определение. Квадратичная кривая Безье, определяемая тремя контрольными точками Р , Р и р, задается выражением B(t) =(1 - t)2P0 + 2t(1 - t)P1 +12P2, t e [0,1]. Кубическая кривая Безье, которая определяется уже четырьмя контрольными точками ро, Pi, Р и рз , задается выражением B(t) =(1 - t)3 P0 + 3t(1 - t)2P1 + 3t2(1 - t)P2 +13P3, t e [0,1]. Постановка задачи наименьших квадратов. Пусть имеется некоторый набор данных q,, i =1,2,...5N. В случае квадратичной кривой требуется найти контрольные точки ро, р и Р2 так, чтобы минимизировать сумму N Е(Ро, р, P,;Td) =ZlB(if) - q, I2. i =1 В случае кубической кривой требуется найти контрольные точки р0, р , Р2 и р3 так, чтобы минимизировать сумму N E(Р„,Р,Р,,Р3;Td) =y|B((,d)- q,|2. i =1 В постановке задач участвуют наборы узлов Td =(td,td,...,tN), 0 <td <1, где узел t- минимизирует расстояние от точки q, до требуемой кривой, то есть 1 B(t- ) - Ч, |=min|B(t) - q, |. 0<t <1 Сложность здесь заключается в том, что узлы Td =0f, t-,..., tN) также подлежат определению. Это так называемая задача параметризации, которая является ключевой и наиболее сложной задачей, трбующей своего решения в процессе аппроксимации.

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: Բեզիեյի կորերով տվյալների մոտարկման ալգորիթմների մշակում: Разработка алгоритмов аппроксимации данных с помощью кривых Безье.
    Uncontrolled Keywords: Նուրի Ահմադ Սուլեյման, Нури Ахмад Сулейман
    Subjects: Mathematics and Cybernetics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 10 Mar 2017 16:15
    Last Modified: 10 Mar 2017 16:15
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4261

    Actions (login required)

    View Item