Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

n-ճշգրիտ և GCn բազմությունների նոր հատկության վերաբերյալ

Բայրամյան, Վահագն Հայկի (2017) n-ճշգրիտ և GCn բազմությունների նոր հատկության վերաբերյալ. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (792Kb) | Preview

    Abstract

    Միջարկումը (ինտերպոլացիա) որևէ բարդ ֆունկցիայի արժեքների մոտավոր հաշվումն է' օգտագործելով այդ ֆունկցիայի որոշ կետերում տրված արժեքները: Բազմանդամային միջարկման դեպքում որպես միջարկիչ ֆունկցիաներ օգտագործվում են բազմանդամներ: Այսինքն, հարթության մեջ տրված են կետեր, պահանջվում է գտնել այնպիսի բազմանդամ, որի գրաֆիկը ճշգրիտ անցնում է այդ կետերով: Միջարկումը' բազմանդամներով կամ այլ ֆունկցիաներով, հաշվողական մաթեմատիկայի բավականին հին մեթոդներից է: Ներկայումս բազմանդամային միջարկումը մոտարկումների տեսության և հաշվողական մաթեմատիկայի կարևորագույն բաժիններից մեկն է: Այն լայնորեն կիրառվում է բազմաթիվ մաթեմատիկական խնդիրներում: Միաչափ բազմանդամային միջարկման խնդրի ամբողջական լուծումներ են տվել դեռևս Լագրանժը և Նյուտոնը: Մի քանի փոփոխականի բազմանդամային միջարկումը համեմատաբար նոր թեմա է և սկիզբ է առել 19-րդ դարի երկրորդ կեսերից' Վ. Բորչարդի և Լ. Կրոնեկերի աշխատանքներով: Մի քանի փոփոխականի բազմանդամային միջարկման առաջին կարևոր արդյունքները ստացել են Բերզոլարին, Ռադոնը, ինչպես նաև Չանգը և Յաոն: Ներկայումս բազմաչափ բազմանդամային միջարկման տեսության մեջ կան շատ չլուծված կարևոր խնդիրներ: Մասնավորապես' լուծված չէ դեռևս 1982 թ.-ին Գասքայի և Մաեզթուի կողմից առաջադրված վարկածը, որը քննարկում ենք ատենախոսության մեջ: Նշենք նաև, որ բազմաչափ բազմանդամային միջարկման խնդիրը սերտորեն առընչվում է հանրահաշվական երկրաչափության հետ: Ներկայումս մի քանի փոփոխականներով միջարկման ուղղությունը հանդիսանում է նաև հանրահաշվական երկրաչափության արդիական բաժիններից մեկը: Многомерная полиномиальная интерполяция является одним из основных предметов численного анализа и теории приближений. Для одномерной интерполяции существование и единственность интерполяционного многочлена зависят лишь от количества узлов. В случае многомерной интерполяции эти вопросы зависят также от конфигурации узлов. Пусть Пп есть пространство многочленов двух переменных суммарной степени не превышающей п . Обозначим М: = (Пт Пп = (п+2) . Множество узлов X называется п-точным, если существует единственный многочлен р £ П„, удовлетворяющий усло¬виям интерполяции. Назовем многочлен р £ Пп фундаментальным для узла А £ X, если он обращается в ноль во всех узлах X, кроме Л. Будем говорить, что узел множества X использует прямую, если прямая является множителем фундаментального многочлена этого узла. Рассматриваются специалные п-точные множества, называемые 6СП множествами, для которых п-фундаментальный многочлен каждого узла является произведением п линейных множителей. Другими словами, каждый узел 6СП множества использует ровно п прямых. Прямая I называется й-узловой для множества узлов X, если она проходит точно через к узлов. (п + 1)-узловая прямая называется максимальной прямой. В 1982 году М. Гаска и Дж И. Маезту представили гипотезу, согласно которой каждое 6СП множество имеет максимальную прямую. До сих пор эта гипотеза подтверждена для п < 5. Хорошо известно, что любая максимальная прямая М в X используется каждым узлом в множестве Х\М. Далее мы представляем наш результат, касающийся использования 2-узловых прямых в п-точных множествах. Пусть X является п-точным множеством. Тогда любая 2-узловая прямая используется не более чем одним узлом. Отметим, что в случае когда X есть 6СП множество, этот резултат принадлежит Карнисеру и Гаска. Определим следующие множества: Х^ — подмножество узлов X, которые используют прямую I, — подмножество узлов X, которые не используют прямую I и не лежат на I. Multivariate polynomial interpolation is one of the basic subjects of Numerical Analysis and Approximation Theory. For the univariate interpolation the existence and uniqueness of interpolating polynomial depend only on the number of nodes. For the multivariate interpolation they depend also on the configuration of nodes. Let nn be the space of bivariate polynomials of total degree at most n. We have that W: = dim nn = (n+2). A set of nodes X is called n-poised if there exists a unique polynomial p £ nn, satisfying the interpolation conditions. A polynomial p £ nn is called fundamental for the node A £ X, if it vanishes at all the nodes of X but A. We say that the node of X uses a line, if the line is a factor in the fundamental polynomial of the node. A special type of n-poised sets called GCn sets are considered for which the n- fundamental polynomial of each node is a product of n linear factors. In other words GCn sets are the sets each node of which uses exactly n lines. A line l is called fc-node line for a node set X if it passes through exactly fc nodes. An (n + 1)-node line is called maximal line. In 1982 M. Gasca and J. I. Maeztu conjectured that every GCn set possesses necessarily a maximal line. Till now the conjecture is confirmed to be true for n < 5. It is well-known that any maximal line Mof Xis used by each node in X\M. Now let us present our result concerning the usage of 2-node lines in n-poised sets. Let X be an n-poised set. Then any 2-node line is used at most by one node. Let us mention that in the case when X is a GCn set this result is due to Carnicer, Gasca. Next let us define the following sets: Xl is the subset of nodes of X which use the line l, ^ is the subset of nodes of X which do not use the line l and do notlie in l. In thist hesis we prove the following two statements concerning n-node and (n — 1)- node lines in n-poised sets. Let X be a n-poised set and l be a line passing through exactly n nodes of X. Then the following hold: (i) №| < Q); (ii) If |X^| > (n 2 1) then |Xf| = Q). Moreover, Xf is an (n — 2)-poised set and X^ = X\(l U M), where Mis a maximal line such thatM nlnX = 0; (iii) If (n 2 1) > |X^| > (n 2 2) + 2 then |X^| = (W 2 1).Moreover, X^ is an (n — 3)- poised set and X^ = X\(l U S), where S £ n2is a conic such that ^l = (S\l) n X and |^,| = 2n. Besides these 2n nodes the conicmay contain at most one extra node, which necessarily belongs to l. Furthermore, if the conic S is reducible, i. e. S = l1l2 then we have that |l; n X\l| = n, i = 1,2; Let X be a n-poised set and l be a line passing through exactly n —1 nodes of X, where n > 3. Then the following hold.

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: О новом свойстве n- точных и GCn множеств.
    Uncontrolled Keywords: Байрамян Ваагн Гайкович, Bayramyan V.
    Subjects: Mathematics and Cybernetics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 13 Mar 2017 10:23
    Last Modified: 14 Mar 2017 11:25
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4263

    Actions (login required)

    View Item