Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

n-անկախ հանգույցների բազմությունների վերաբերյալ

Մալինյան, Արգիշտի Ռուսլանի (2013) n-անկախ հանգույցների բազմությունների վերաբերյալ. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (525Kb) | Preview

    Abstract

    Թվային մեթոդներում հաճախ անհրաժեշտ է լինում բարդ ֆունկցիաները մոտարկել ավելի պարզերով: Այդ խնդրի լուծման լայն տարածում գտած մեթոդներից է բազմանդամային միջարկումը կամ ինտերպոլացիան: Բազմանդամներով կամ այլ ֆունկցիաներով միջարկումը կիրառական մաթեմատիկայի պատմականորեն համեմատաբար վաղ առաջացած մեթոդներից է: Ներկայումս բազմանդամային միջարկումը մոտարկումների տեսության և հաշվողական մաթեմատիկայի կարևորագույն բաժիններից մեկն է: Այն լայնորեն կիրառվում է բազմաթիվ մաթեմատիկական խնդիրներում: Միաչափ բազմանդամային միջարկման խնդրի սպառիչ լուծումներ են տվել դեռևս Լագրանժը և Նյուտոնը: Մի քանի փոփոխականի բազմանդամային միջարկումը համեմատաբար նոր բաժին է և սկիզբ է առել 19-րդ դարի երկրորդ կեսերից' Վ. Բորչարդի և Լ. Կրոնեկերի աշխատանքներով: Բազմաչափ բազմանդամային միջարկման խնդրով հիմնավորապես սկսել են զբաղվել շատ ավելի ուշ' վերջին չորս-հինգ տասնամյակների ընթացքում: Այս շրջանում մաթեմատիկայի շատ այլ բաժիններում ևս հետազոտությունների հիմնական ուղղությունը մի փոփոխականի ֆունկցիաների դեպքից տեղափոխվեց մի քանի փոփոխականի ֆունկցիաների դեպք: Միաչափ շատ կիրառական խնդիրների, ինչպես օրինակ' թվային ինտեգրման, ոչ գծային հավասարումների համակարգերի և դիֆերենցիալ հավասարումների մոտավոր լուծման մեջ կարևոր դեր է կատարում բազմանդամային միջարկումը: Մի քանի փոփոխականի համապատասխան խնդիրներում սկզբնապես կիրառվել է միաչափ միջարկումների թենզորական արտադրյալով ընդհանրացումը, որը, չնայած պարզությանը, ունի մի էական թերություն: Այն է' թենզորական արտադրյալի բազմանդամային տարածությունը և ցանցը ինվարիանտ չեն գծային ձևափոխությունների նկատմամբ: Այս հանգամանքն անհրաժեշտ է դարձնում նշված խնդիրներում ըստ էության մի քանի փոփոխականի միջարկման կիրառությունը: Նշանակենք Ոո -ով երկու փոփոխականի բոլոր < Ո աստիճանի բազմանդամների տարածությունը: Մենք ուսումնասիրում ենք n-անկախ բազմությունները R2 -ում և Rd -ում երրորդ և չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական կորերի' համապատասխանաբար կուբիկների և քվարտիկների վրա: R2 -ում և Rd -ում n-անկախ X բազմությունները բնութագրվում են այն փաստով, որ Pn x ':= {p £, p\x = 0} տարածության չափողականությունը հավասար է dim Ոո-#X.: Այնուհետև, n աստիճանի բազմանդամային միջարկումը լուծելի է միայն այդպիսի բազմություններով: Բացի այդ, n-անկախ բազմությունները հանդիսանում են հենց բազմանդամային միջարկման n-ճշգրիտ բազմությունների ենթաբազմությունները: Многомерная полиномиальная интерполяция является одним из основных предметов в теории приближений и численного анализа. Довольно полное решение задачи одномерной полиномиальной интерполяции был получен Лагранжом и Ньютоном. Задача многомерной полиномиальной интерполяции является гораздо более сложной. В этом случае существование и единственность интерполяционного многочлена Лагранжа зависит от геометрического распределения узлов интерполяции. Обозначим через = Пи (К) пространство многочленов й переменных суммарной степени не превышающей П . В случае б = 2 коротко обозначим Пп = П2. Определение. Задача интерполяции (Пй, X ) называется разрешимой, если для каждого множества, с^,.. с | существует многочлен р е ПП удовлетворяюший условиям Р(Ю = С, ։ = I,2,...,^ Назовем многочлен р е пй фундаментальным, или П - фундаментальным, для точки А =~Хк е Х։։ и обозначим через рк;= рА;= рАХ а, если Р() = 3М, / = l,2, ...,^, где 5 является символом Кронекера. Определение. Множество X називается П^ -независимым, или коротко П - независимым, если все фундаментальние многочлены р“А е Пй, А е X, существуют, или эквивалентным образом интерполяционная задача (Пй, X ) разрешима. Первую характеристику п-независимых множеств узлов дал Севери. Теорема1 (Севери). Каждое множество <П + 1 точек в К является П- независимым. В диссертации мы охарактеризовали все п-независимые множества < 3п точек в К . Теорема 2. Пусть дано множество узлов X в К, # X < 3п . Тогда множество X является П - зависимым тогда и только тогда, когда имеет место одно из следующих утверждений: Существуют П + 2 колинеарных точек принадлежагцие X , Существуют 2П + 2 точек принадлежагцие X лежагцие на некоторой конике /3 еП 2 на плоскости, #X = 3п и существуют кубика у еП3 и кривая о е П на плоскости так, что у (У о = X . Multivariate polynomial interpolation is a basic subject in Approximation Theory and Numerical Analysis. A rather complete solution of univariate polynomial interpolation problem were obtained already by Lagrange and Newton. The multivariate polynomial interpolation problem is much more complicated. In this case the existence and uniqueness of a Lagrange interpolation polynomial depend on the geometrical distribution of the interpolation nodes. Denote by (Rd) the space of polynomials in d variables of total degree not exceeding n. In the case d = 2 we denote it briefly n = njj. Definition 1. The interpolation problem (Qd, X ) is called solvable, if for any set of values, c2 ,...c J there exists a polynomial p eQdf satisfying the conditions p(xi) = c, i = 1,2,..., We call a polynomial p e Qd fundamental, or n -fundamental, for the point A = xkk Xs and denote it by pi := p*A := pA,xs,n,d, if p(xi ) = §li , i = 1,2,..., S, where § is the Kronecker symbol. Definition 2. A set X is called -independent, or briefly n -independent, if all its fundamental polynomials p* e Qd , A e X, exist, or equivalently the interpolation problem (Qdn, X ) is solvable. The first characterization of n-independence sets of points was given by Severi. Theorem 1 (Severi). Any set of < n +1 points in Rd is n -independent. In the thesis we characterize all n-independent sets of < 3n points in Rd . Theorem 2. Suppose that a set of points X is given with #X < 3n in Rd . Then we have that X is n - dependent if and only if one of the following statements holds: There are n + 2 collinearpoints in X , ii)There are 2n + 2 points of X belonging to a conic /3 e^2 in a plane, Hi)#X = 3n and there is a cubic J e^3 and a curve ct e n in a plane such that J^c = X .

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: О множествах n -независимых узлов. About n -independent sets of points.
    Uncontrolled Keywords: Малинян Аргишти Русланович, Malinyan Argishti
    Subjects: Mathematics and Cybernetics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 13 Mar 2017 15:37
    Last Modified: 14 Mar 2017 11:43
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4267

    Actions (login required)

    View Item