Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Հանրահաշվական բազմացանցային վերապայմանավորիչների համեմատական վերլուծությունը ցանցի խտացման տարբեր արագությունների համար

Ամիր, Ռանջբար (2012) Հանրահաշվական բազմացանցային վերապայմանավորիչների համեմատական վերլուծությունը ցանցի խտացման տարբեր արագությունների համար. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (291Kb) | Preview

    Abstract

    The thesis is devoted to construction and investigation of algebraic multigrid preconditioners for symmetric positive definite matrices which arise in finite element approximation of elliptic equations. The essence of the research consists in carrying out a comparative analysis of different rates of mesh refinement. Actuality of the Subject. The finite element method is one of the most efficient tools for numerical solution of partial differential equations. A process of solution of a boundary problem for differential equation through the use of the finite element method includes the following principal stages: finite element approximation of the problem; solution of a system of grid equations. The finite element approximation of linear differential equations lead to the systems of linear algebraic equations (system of grid equations) of high dimensionality. As a rule, the systems are ill-conditioned. The complexity of the solution of algebraic problems grows rapidly with the problem size which depends on grid step. Therefore using the general numerical methods of linear algebra to solve the system of grid equations is not always expedient. In this connection the development of fast and robust solvers is of great importance. Algebraic multigrid/multilevel preconditioning methods are widely used nowadays for numerical solution of large-scale linear systems with finite element matrices. These methods are constructed on the base of the sequences of refined meshes. The methods are sufficiently universal and are applicable to a broad class of boundary problems for partial differential equations. The importance of multigrid methods has been greatly increased in connection with development of high productive computers. All that has been said stimulates the working out of multigrid algorithms and their theoretical substantiation. Ատենախոսությունը նվիրված է սիմետրիկ դրական որոշյալ վերջավոր տարրային մատրիցների համար հանրահաշվական բազմացանցային վերապայմանավորիչների կառուցման և հետազոտման հարցերին: Հիմնական շեշտը դրվում է ստորակարգային ցանցերի խտացման տարբեր արագությունների համեմատական վերլուծության կատարման վրա: Մասնական ածանցյալներով գծային դիֆերենցիալ հավասարումների վերջավոր տարրային մոտարկումը հանգում է բարձր կարգի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի (ցանցային հավասարումների համակարգերի) լուծմանը: Որպես կանոն, այդ համակարգերը վատ են պայմանավորված: Ընդ որում հանրահաշվական խնդիրների լուծման համար պահանջվող հաշվողական աշխատանքի ծավալը այդ խնդիրների չափայնության մեծացման հետ մեկտեղ շատ արագ աճում է: Իսկ խնդիրների չափայնությունը կախված է ցանցի քայլից: Ուստի ցանցային հավասարումների համակարգերի լուծման արագ և հուսալի մեթոդների մշակումը արդիական խնդիր է: Վերապայմանավորման հանրահաշվական բազմացանցային մեթոդները ներկա ժամանակ լայնորեն օգտագործվում են բարձր չափայնության հանրահաշվական խնդիրները լուծելիս: Մեթոդները կիրառելի են մաթեմատիկական ֆիզիկայի լայն դասի խնդիրների համար և կառուցվում են խտացվող ցանցերի հաջորդականությունների հիման վրա: Ընդ որում այդ մեթոդները դառնում են ավելի ու ավելի հանրամատչելի բարձրարտադրական համակարգիչների զարգացման կապակցությամբ: Սույն ատենախոսության նպատակը` գծային էլիպտական հավասարումների համար օպտիմալ հանրահաշվական բազմացանցային վերապայմանավորիչների կառուցման մեթոդների մշակումն է: Բազմացանցային տեխնիկան օգտագործում է ցանցերի ռեկուրսիվ խտացում` սկսած ամենախոշոր ցանցից և վերջացրած ամենամանրով: Դրա հետ մեկտեղ մեծ թվով խտացման մակար- դակների օգտագործումը առաջացնում է ռեկուրսիվ ցիկլերի և տվյալների առաքման հետ կապված որոշակի հաշվողական ծախսեր: Ուստի որոշակի հետաքրքրություն է առաջացնում այնպիսի բազմացանցային ալգորիթմների կառուցումը, որտեղ կիրառվում են ըստ հնարավորին փոքր թվով ցանցի խտացման մակարդակներ: Диссертационная работа посвящена построению и исследованию алгебраических многосеточных переобуславливателей для симметричных положительно определен- ных матриц, возникающих при конечноэлементной аппроксимации эллиптических уравнений. Основной упор делается на проведении сравнительного анализа различных скоростей измельчения иерархических сеток. Конечноэлементная аппроксимация линейных дифференциальных уравнений с частными производными сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений (систем сеточных уравнений) высокого порядка. Как правило, такие системы плохо обусловлены. При этом объем вычислительной работы, трбуемый для решения алгебраических задач, быстро растет с увеличением размерности этих задач, которая зависит от шага сетки. Поэтому разработка быстрых и надежных методов решения систем сеточных уравнений является актуальной задачей. Алгебраические многосеточные/многоуровневые методы переобуславливания активно используются в настоящее время при численном решении алгебраических задач большой размерности. Эти методы применимы к широкому классу задач математической физики и строятся на основе последовательностей измельчающихся сеток. При этом методы становятся все более популярными в связи с развитием высокопроизводительных компьютеров. Цель настоящей диссертационной работы заключается в разработке методов построения оптимальных алгебраических многосеточных переобуславливателей для линейных эллиптических уравнений. Многосеточная техника использует рекурсивное измельчение сеток, начиная с самой грубой сетки и кончая самой мелкой. Вместе с тем использование большого числа уровней измельчения порождает определенные вычислительные издержки, связанные с рекурсивными циклами и пересылкой данных. Поэтому определенный интерес представляет построение многосеточных алгоритмов, в которых задействовано по возможности меньшее число уровней измельчения сетки. В различных многосеточных версиях обычно используются иерархические сеточные структуры, основанные на бисекции сторон ячеек сетки. В отличие от такого подхода, в настоящей работе развивается многосеточная техника, основанная на трисекции сторон ячеек сетки. Такая стратегия приводит к более высокой скорости измельчения сеток и, в конечном итоге, к меньшему числу уровней.

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: Հանրահաշվական բազմացանցային վերապայմանավորիչների համեմատական վերլուծությունը ցանցի խտացման տարբեր արագությունների համար: Сравнительный анализ алгебраических многосеточных переобуславливателей для различных скоростей измельчения сетки.
    Uncontrolled Keywords: Ամիր Ռանջբար, Амир Ранджбар
    Subjects: Mathematics and Cybernetics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 15 Mar 2017 10:29
    Last Modified: 15 Mar 2017 10:29
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4271

    Actions (login required)

    View Item