Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Մեդիալ տիպի հանրահաշիվների ներկայացումները

Էհսանի, Ամիր (2012) Մեդիալ տիպի հանրահաշիվների ներկայացումները. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (213Kb) | Preview

    Abstract

    Let ( A, × ) be a groupoid, the medial identity for a gropoid, is the following identity: xy × uv = xu × yv . Probably the first explicit note concerning the medial identity is contained in A. K. Suškevič paper (1937), but the first paper on the subject (concerning medial quasigroups) is D. C. Murdoch (1939). Later, there appeared other papers devoted to the study of medial quasigroups and their geometrical aspects (e.g. D. C. Murdoch (1941), K. Toyoda (1941), R. H. Bruck (1958), S. K. Stein (1957), and A. Sade (1957)) and also medial groupoids (e.g. I. M. H. Etherington (1949), M. Scholander (1949), and O. Frink (1955)). It should be noted here that medial identity was studied under various names. The authors have found the following terms: abelian (e.g. D. C. Murdoch (1941)), alternation (e.g. M. Scholander (1949)), bi-commutative (e.g. E. Doraczynska (1974)), bisymmetric (e.g. J. Azél (1948)), entropic (e.g. I. M. H. Etherington (1949)), medial (e.g. S. K. Stein (1957)), surcommutative (e.g. J. P. Soublin (1971)). The generalization of medial identity for an n-ary groupoid ( A, f ) is the following identity: f ( f ( x11 ,...,x1n ),..., f ( xn1 ,...,xnn )) = f ( f ( x11 ,...,xn1 ),..., f ( x1n ,...,xnn )) .Ատենախոսության մեջ ստացվել են հետևյալ հիմնական արդյունքները .Ենթադրենք (A, F) –ը մեդիալ հանրահաշիվ է` e իդեմպոտենտ տարրով, որը միաժամանակ i- ռեգուլյար և j-ռեգուլյար է ( i £ j ), այդ դեպքում գոյություն կունենա միավորով (A, +) կոմուտատիվ կիսախումբն այնպիսին, որ յուրաքանչյուր f Î F գործողություն ունի հետևյալ գծային ներկայացումը` f(x1 ,...., xm ) =a1x1 +L+amxm , որտեղ a1 ,...,am -ը (A, +) կիսախմբի զույգ առ զույգ տեղափոխական էնդոմորֆիզմներ են, m ³ 2 : Դեռ ավելին ai ,a j էնդոմորֆիզմները ավտոմորֆիզմներ են: Ենթադրենք (A, f, g)-ը m-տեղանի f գործողությամբ և n-տեղանի g գործողությամբ (m £ n ) ռեգուլյար, մեդիալ հանրահաշիվ է, այդ դեպքում գոյություն կունենա (A, +) միավորով կոմուտատիվ կիսախումբն այնպիսին, որ f(x1 ,...., xm ) = g 1x1 +L+ g mxm + d1 , g(x1 ,...., xn ) = l1x1 +L+ ln xn + d2 , որտեղ, d1 ,d2 -ը (A, +)-ի ռեգուլյար տարրեր են, l1 ,...,lm ,g 1 ,...,g n -ը (A, +)-ի տեղափոխական ավտոմորֆիզմներ են: Ենթադրենք A = (A, f, g)-ը f n-տեղանի և g m-տեղանի գործողություններով իդեմպոտենտ հանրահաշիվ է: Եթե g-ն տեղափոխական է, իսկ (f, g) զույգը բավարարում է ընդհանրացված էնտրոպիկության հատկությանը, ապա (f, g) զույգը էնտրոպիկ (մեդիալ) է: n-տեղանի և m-տեղանի գործողություններով յուրաքանչյուր A = (A, f, g) իդեմպոտենտ և տեղափոխական հանրահաշիվ, որը բավարարում է ընդհանրացված էնտրոպիկության հատկությանը էնտրոպիկ (մեդիալ) է: Ենթադրենք A = (A, f) –ը իդեմպոտենտ և տեղափոխական մոնո-n-տեղանի հանրահաշիվ է: Եթե f-ը A հանրահաշվի ընդհանրացված էնդոմորֆիզմ է, ապա այն էնտրոպիկ գործողություն է: Ենթադրենք (A, f)-ը n-տեղանի պարամեդիալ խմբակերպ է այնպիսին, որ A-ն պարունակում է J-ռեգուլյար տարր, այդ դեպքում գոյություն կունենա միավորով (A,+) տեղափոխական կիսախումբն այնպիսին, որ f(x1 ,...., xn ) = g 1x1 +L+ g n xn + c , որտեղ c-ն (A, +)կիսախմբի սևեռված ռեգուլյար տարր է , իսկ g 1 ,...,g n -ը (A, +) կիսախմբի ավտոմորֆիզմներ են: Ենթադրենք (A, F)-ը ռեգուլյար, իդեմպոտենտ e տարրով պարամեդիալ հանրահաշիվ է , այդ դեպքում գոյություն կունենա e միավորով տեղափոխական (A, +) կիսախումբն այնպիսին, որ յուրաքանչյուր f ÎF գործողություն ունի հետևյալ գծային ներկայացումը` f(x1 ,...., xn )=a1x1 +L+an xn , որտեղ 1,..., n a a-ը (A, +) կիսախմբի ավտոմորֆիզմներն են: Ենթադրենք (A, f, g)-ը f m-տեղանի գործողությամբ և g n-տեղանի գործողությամբ ռեգուլյար, պարամեդիալ հանրահաշիվ է, այդ դեպքում գոյություն կունենա (A, +) տեղափոխական կիսախումբն այնպիսին, որ f(x1 ,...., xm ) = g 1x1 +L+ g mxm + d1 , g(x1 ,...., xn ) = l1x1 +L+ lmxm + d2 , որտեղ d1 ,d2 (A, +) կիսախմբի սևեռված ռեգուլյար տարրեր են, իսկ l1 ,...,lm ,g 1 ,...,g n -ը (A, + ) կիսախմբի տեղափոխական ավտոմորֆիզմներ են: Ենթադրենք (Q, F)-ը քվազիխմբային գործողություններով պարամեդիալ հանրահաշիվ է, այդ դեպքում գոյություն կունենա (Q, +) աբելյան խումբն այնպիսին, որ յուրաքանչյուր fi ÎF գործողություն ներկայացվում է հետևյալ տեսքով` fi ( x, y ) = ji ( x ) +yi ( y ) + ci , որտեղ ci ÎQ , իսկ ji ,yi -ը (Q, +) աբելյան խմբի ավտոմորֆիզմներ են այնպիսին, որ jij j =y jyi ,jiy j = j jyi ,y jji =yij j: (Q, +) խումբն իզոմորֆիզմի ճշտությամբ որոշվում է միարժեքորեն: Ենթադրենք (Q,F)-ը քվազիխմբային գործողություններով կո-մեդիալ (կոէնտրոպիկ) հանրահաշիվ է, այդ դեպքում գոյություն կունենա (Q, +) աբելյան խումբն այնպիսին, որ յուրաքանչյուր fi ÎF գործողություն ներկայացվում է հետևյալ տեսքով` fi ( x, y ) = ji ( x ) +yi ( y ) + ci , որտեղ ci ÎQ , իսկ ji ,yi -ը (Q, +) աբելյան խմբի ավտոմորֆիզմներ են այնպիսին, որ jiy j =y jji : (Q, +) խումբն իզոմորֆիզմի ճշտությամբ որոշվում է միարժեքորեն: · Ենթադրենք (Q, F)-ը քվազիխբային գործողություններով երկտեղ կոպարամեդիալ հանրահաշիվ է, այդ դեպքում գոյություն կունենա (Q, +) աբելյան խումբն այնպիսին, որ յուրաքանչյուր fi ÎF գործողություն ներկայացվում է հետևյալ տեսքով` fi ( x, y ) = ji ( x ) +yi ( y ) + ci , որտեղ ci ÎQ , իսկ ji ,yi -ը (Q, +) աբելան խմբի ավտոմորֆիզմներ են այնպիսին, որ jij j =yiy j : (Q, +) խումբն իզոմորֆիզմի ճշտությամբ որոշվում է միարժեքորեն: В диссертационной работе доказаны следующие основные результаты: Если (A, F) медиальная алгебра с идемпотентным элементом e, который одновременно является i-регулярным и j-регулярным для фиксиранных i и j ( i £ j ), то существует коммутативная полугруппа (A, +) с единичным элементом e, такая что каждая операция f Î F имеет линейное представление следующего вида: f(x1 ,...., xm ) =a1x1 +L+amxm , где a1 ,...,am попарно коммутирующие эндоморфизмы (A, +),m³ 2 . Более того, ai ,a j являются автоморфизмами. Если (A, f, g) регулярная медиальная алгебра с m-местной операцией f и n- местной операцией g (m £ n ), то существует коммутативная полугруппа (A, +) с единичным элементом такая, что f(x1 ,...., xm ) = g 1x1 +L+ g mxm + d1, g(x1 ,...., xn ) = l1x1 +L+ ln xn + d2 , где d1 ,d2 -фиксированные регулярные элементы (A, +), а l1 ,...,lm ,g 1 ,...,g n -коммутирующие автоморфизмы полугруппы (A, +). Пусть (A, f, g) идемпотентная алгебра с одной m-местной операцией f и одной n-местной операцией g. Если g коммутативна, а пара (f, g) удовлeтворяет обобщенному свойству энтропийности, то пара (f, g)- энтропийна (медиальна) . Каждая идемпотентная и коммутативная алгебра A = (A, f, g) с n -арной и m-арной операциями удовлeтворяющая обобщенному свойству энтропийности будет энтропийной (медиальной). Пусть A = (A, f) идемпотентная и коммутативная моно-n-арная алгебра. Если f-обобщенный эндоморфизм алгебры A, то f- энтропийная операция. Пусть A = (A, F) идемпотентная алгебра. Если w : An ® A обобщенный эндоморфизм алгебры A, то для каждой m-арной коммуатативной операции f Î F, пара операций (w, f )- энтропийна (медиальна).

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: Մեդիալ տիպի հանրահաշիվների ներկայացումները: Представления алгебр медиального типа.
    Uncontrolled Keywords: Էհսանի Ամիր, Ехсани Амир
    Subjects: Mathematics and Cybernetics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 16 Mar 2017 10:16
    Last Modified: 16 Mar 2017 10:16
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4291

    Actions (login required)

    View Item