Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Նեյմանի խնդիրը չորրորդ կարգի վերասերվող դիֆերենցիալ-օպերատորային հավասարումների համար

Դարյուշ, Քալվանդ (2012) Նեյմանի խնդիրը չորրորդ կարգի վերասերվող դիֆերենցիալ-օպերատորային հավասարումների համար. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (515Kb) | Preview

    Abstract

    The study of differential equations whose coefficients are unbounded operators in Hilbert or Banach spaces, suitable not only because they contain many partial differential equations, but also because we are able to look from a unified point of view of both on the ordinary differential operators and the partial differential operators. In the dissertation we consider the Neumann problem for degenerate differential-operator equations of fourth order Lu = (t“u")" + Au = f, (1) where t € [0,6], 0 < a < 4, f € L2((0, b), H), the operator A has complete system of eigenfunctions {^k}keN, which form a Riesz basis in H, i.e. any x e H has the representation O x = ^ Xk(t)^k k = 1 and there are some positive constants ci and c2 such that OO OO Ci ^ |xk|2 < ||x||2 < C2 ^ |xk|2. k=1 k=1 The most important class of operator equations (1) are degenerate elliptic fourth-order equations. Degenerate elliptic equations encountered in solving of many important problems of applied character, such as the theory of small deformations surfaces of rotation, the membrane theory of shells, the bending of plates of variable thickness with a sharp edge (see, for instance G. Jaiani [8]). Particularly, important are these equations in the gas dynamics. Start of numerous studies put the work of F. Tricomi [27], devoted to the second- order equation with non-characteristic degeneration. Fundamental role in the theory of degenerate elliptic equations was played the article of M.V. Keldysh [9], where was first studied the first boundary value problem for the second- order elliptic equation with characteristic degeneration (see also the article of G. Jaiani [7]). The next stage was the work of Bicadze [1], where was first formulated a weight problem. By G. Fichera [5] was created a unified theory of second-order equations with nonnegative characteristic form. S.G. Mikhlin [15], L.D. Kudryavtsev [11], [12] and others have investigated degenerate elliptic equations (both second and higher order) by variational methods. Fourth order elliptic equations degenerating on the boundary of domain, for which we can not apply variational methods, were first considered by V.K. Zakharov [30], [31]. He extended the results of M.I. Vishik [28] on the fourth-order equation on the plane, provided that the coefficient of the third-order derivative with respect to the y fulfill to some condition near the line of degeneracy y = 0. Ատենախոսությունը նվիրված է Նեյմանի խնդրի ուսումնասիրությանը չորրորդ կարգի վերասերվող դիֆերենցիալ-օպերատորային հավասարումների մի դասի համար: Այդ դասը իր մեջ ներառում է ինչպես դասական, այնպես էլ ոչ դասական մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ: Միաժամանակ հնարավորություն է ստեղծվում նայել սովորական և մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներին միասնական տեսանկյունից: Ներկայացվող ատենախոսության մեջ դիտարկվել է Նեյմանի խնդիրը չորրորդ կարգի վերասերվող դիֆերենցիալ-օպերատորային հավասարման համար Լս = (tau")" + Au = ք(է), է £ (0,b),a > 0, ք £ Լ2((0,b),M), (1) որտեղ A: M^M գծային օպերատորը (ընդհանրապես ասած' անսահմանափակ) գործում է որևէ M սեպարաբել հիլբերտյան տարածության մեջ: Ենթադրվում է, որ M-ում գոյություն ունի Րիսի բազիս' {(pk}“=]_, այնպիսին որ <pk, k £ N ֆունկցիաները հանդիսանում են A օպերատորի համար սեփական ֆունկցիաներ A(pk = ak<pk, k £ N: Ատենախոսության մեջ նախ դիտարկվում է միաչափ դեպքը, այսինքն երբ A օպերատորը a թվով բազմապատկման օպերատոր է' Au = au, a £ C: Այնուհետև օգտվելով ս(է) = Z“=i uk (t)<pk, f(t) = E“=i fk (t)<pk ներկայացումներից (1) դիֆերենցիալ-օպերատորային հավասարումը բերվում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների հետևյալ անվերջ շղթային Lkuk = (taul)" + akuk = fk(t),t £ (0,b),a > 0, fk £ Լշ(0,b),k £ N: (2) Սկզբում սահմանվում է (2) տեսքի սովորական դիֆերենցիալ հավասարման համար Նեյմանի խնդրի ընդհանրացված լուծումը Սոբոլևի M^.2(0, b) կշռային տարածության մեջ: Այնուհետև սահմանվում է (1) դիֆերենցիալ-օպերատորային հավասարման համար Նեյմանի ընդհանրացված խնդրի լուծումը: Диссертация посвящена к исследованию смешанной задачи для одного класса вырождающихся дифференциально-операторных уравнений четвертого порядка. Это довольно широкий класс, который содержит как классические, так и неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. В представленной диссертации рассматривается Задача Неймана для вырождающихся дифференциально-операторных уравнений четвертого порядка Ьи = ({“и")" + Аи — f(t), Ь£(0,Ь), а>0^£Ь2((0,Ь),Н), (1) где А:Н^Н является линейным оператором (вообще говоря неограниченный), действующим в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Предполагается, что в Н существует базис Рисса {фк]к=1, такой что функции фк,к £ N являются собственными функциями Афк — акфк,к £ N для оператора А. В диссертационной работе сперва изучается одномерный случай, т.е. случай, когда А является оператором умножения Аи — аи, а £ ! на число а. Затем используя представления и({) — %#=1ик({)фк> f(t) — Z#=lfк(t)<Pк дифференциально-операторное уравнение (1) приводится к бесконечной цепочке обыкновенных диффeренциальных уравнений Ькик = (1“ик)" + акик — ^&), { £ (0,Ь), а > 0^к £ Ь2(0,Ь), к £ N. (2) Сперва для обыкновенного дифференциального уравнения вида (2) определяется обобщенное решение задачи Неймана в весовом пространстве Соболева $“2(0) и ՝$“2(Ъ՝). Затем определяется соответствующее обобщенное решение задачи Неймана для дифференциально-операторного уравнения (1).

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: Նեյմանի խնդիրը չորրորդ կարգի վերասերվող դիֆերենցիալ-օպերատորային հավասարումների համար: Задача Неймана для вырождающихся дифференциально-операторных уравнений четвертого порядка.
    Uncontrolled Keywords: Դարյուշ Քալվանդ, Дарюш Калванд
    Subjects: Mathematics and Cybernetics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 23 Mar 2017 09:28
    Last Modified: 23 Mar 2017 09:28
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4344

    Actions (login required)

    View Item