Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Քվանտային համակարգերի Գիբսյան բաշխումներ. կլաստերային վերլուծություններ և վիճակագրական գումարի ասիմպտոտիկան

Պողոսյան, Սուրեն Կապուշի (2012) Քվանտային համակարգերի Գիբսյան բաշխումներ. կլաստերային վերլուծություններ և վիճակագրական գումարի ասիմպտոտիկան. Doctor of Sciences thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (358Kb) | Preview

    Abstract

    Теория гиббсовских случайных полей, как ветвь теории вероятностей , возникла в 1960-х годах, благодаря работам Добрушина [14, 15, 16, 17], Ланфорда и Рюэля[31], Минлоса [36, 37], Минлоса и Синая [38, 39, 40, 41], в которых они определили гиббсовские случайные поля как специальные вероятностные меры на пространстве бесконечных конфигураций. Это позволило создать математический фундамент задач статистической физики, в рамках которого удалось получить строгое описание феномена фазовых переходов в равновесных физических системах в терминах неединственности гиббсовского случайного поля. При этом единственности гиббсовского поля отвечает слабая зависимость его компонент. Теория гиббсовских случайных полей нашла применения не только в физике, но и в теории распознавания образов, теории нейронных сетей и Начиная с 1970-х, работы по теории гиббсовских случайных полей велись в отделе “Интегральная и стохастическая геометрия” Института математики НАН Армении. К начальной фазе этих исследований относятся работы Б. Нахапетяна [43, 44] по предельным теоремам для дискретных гиббсовских случайных полей, а также работы автора диссертации по исследованию поведения статистической суммы классических систем при больших объемах [59, 46, 47] . Значительный и оригинальный вклад составили работы Р. Амбарцумяна по описанию новых классов гиббсовских полей, основанные на комбинаторном (принцип включения-исключения ) подходе к построению точечных процессов [2, 3, 4]. (Позже эти работы были продолжены Ж. Лебовитцем [30] и его группой в университете Rutgers, США.). Ատենախոսությունում առաջարկված է նոր ընդհանուր մոտեցում Գիբսյան պատահական դաշտերի ուսումնասիրման ամենահզոր մեթոդներից մեկի' կլաստերային վերլությունների մեթոդի նկատմամբ: Այս մոտեցումը կիրառելի է դասական և քվանտային, ինչպես անընդհատ, այնպես նաև ընդհատ համակարգերի համար: Նշված մեթոդի օգնությամբ ստացված է կարևոր անհավասարություն երկկետանի աբստրակտ սեմիինվարիանտների համար: Այս անհավասարությունը հիմք է հանդիսանում սահմանափակ տիրույթում Գիբսյան պատահական դաշտերի երկկետանի սեմիինվարիանտների տարբեր գնահատականներ ապացուցելու համար: Այս գնահատականները արդյունավետ են թերմոդինամիկական սահմանում, քանի որ կախված չեն տիրույթի չափսերից: Ոաումնասիրության հիմնական առարկան է քվանտային գազերի Գիբսյան բաշխումների վիճակագրական գումարը: Գիտարկվում են տարբեր վիճակագրություններ: Աբստրակտ սեմիինվարիանտների գնահատականը կիրառելու նպատակով օգտագործվում է քվանտային գազի, այսպես կոչված ՖեյմանԿացի ներկայացումը որպես փոխազդող Բրոունյան օղակների համակարգ: Երկու Բրոունյան օղակներից ֆունկցիայի համար նկարագրված է ինտեգրալ տիպի նվազման հատկություն, որը հիմնարար դեր է կատարում հետագա դիտարկումներում: Ապացուցված է, որ եթե դասական զույգ պոտենցիալը նվազում է աստիճանային ձևով ապա երկկետանի սեմիինվարիանտն ունի նույն տիպի նվազում:Գիտարկվում են պոտենցիալների տարբեր դասեր, վանող ինտեգրելի, ընդհանուր կայուն ինտեգրելի, ինչպես նաև պինդ կորիզով: Այս բոլոր դեպքերի համար ապացուցվում են գնահատականներ համապատասխան երկկետանի սեմիինվարիանտների համար: The thesis presents a new general approach to the cluster expansion method, one of the most powerful methods for the study of Gibbs random fields. This approach can be applied to classical and quantum systems both discrete and continuous. With the help of this method a useful inequality for the abstract two-point semiinvariant is proved. This inequality becomes a basis for other more detailed estimates of two-point semiinvariants of the Gibbs random fields in bounded domains which are proved in this work. All these estimates are independent of the size of the domain which makes them efficient in the study of asymptotic properties of Gibbs distributions in thermodynamic limit. The main object of investigation is the partition function of the Gibbs distribution of quantum gases with various statistics. To apply the bound of abstract semiinvariants to the study of quantum systems, the so-called Feynman - Kac representation of a quantum gas as a system of interacting Brownian loops (interacting loop gas) is used. For a function of two Brownian loops an integral type decay property is introduced. It is proved that if the classical pair potential has a power decay then the two-point semiinvariant of the corresponding loop gas has the same type of decay. The cases of repulsive integrable, general stable integrable potentials and potentials with hard core are considered and corresponding bounds for the two- point semiinvariants are obtained. These bounds are the main technical tool for the derivation of the large volume asymptotic expansion of the log-partition function. Such expansions are proved for classical gases with pair potential as well as for lattice spin models with general many body potential. As an application of these results we prove the central local limit theorem, give a bound for the convergence rate and prove the local limit theorem for the probabilities of large deviations of the particle number in a grand canonical ensemble. The proof of the large volume asymptotics is based on a new method for the derivation of such expansions. This approach, in contrast to the existing ones, uses bounds for the two-point semiinvariants only.

    Item Type: Thesis (Doctor of Sciences)
    Additional Information: Քվանտային համակարգերի Գիբսյան բաշխումներ. կլաստերային վերլուծություններ և վիճակագրական գումարի ասիմպտոտիկան:
    Uncontrolled Keywords: Պողոսյան Սուրեն Կապուշի, Poghosyan S.
    Subjects: Mathematics and Cybernetics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 23 Mar 2017 10:15
    Last Modified: 23 Mar 2017 10:15
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4347

    Actions (login required)

    View Item