Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Խմբերի ո-պարբեբական արտադրյալների ավտոմորֆիզմների մասին

Գևորգյան, Ամիրջան Լյովիկի (2012) Խմբերի ո-պարբեբական արտադրյալների ավտոմորֆիզմների մասին. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (455Kb) | Preview

    Abstract

    В диссертации исследуются автоморфизмы п-периодических произведений групп. Изучаются внешние и нормальные автоморфизмов п-периодических произведений некоторых классических групп. Операции n-периодических произведений групп были введены С.И.Адяном в работе [ ]. Им было установлено, что для каждого нечетного п > 665 может быть построена новая операция умножения групп, названная периодическим произведением данного периода п или п-периодическим произведением. Построенные операции периодического произведения групп решают проблему А.И.Мальцева о существовании отличной от свободного и прямого произвдения ассоциативной, точной и наследственной по подгруппам операции (см. также [2], [3], [4]). Доказано также (см. [5]), что периодическое произведение нечетного периода п > 665 данного семейства групп является простой группой в том и только том случае, когда каждый множитель этого произведения становится единичной группой при добавлении тождества xn = 1. Указанный критерий простоты позволяет строить новые серии конечно порожденных бесконечных простых групп в многообразиях периодических групп нечетного составного периода п^щце k > 1 и п > 665. Этим, в частности, дается положительным ответом на проблему 23 из монографии X.Нейман [6]: может ли многообразие, отличное от многообразия всех групп, содержать бесконечное количество неизоморфных неабелевых простых групп? Работой [1] С.И.Адяна открылись новые возможности в теории периодических групп. В ней показано, что теория Новикова-Адяна может быть распространена на изучение факторизаций свободных произведений по специально выбранным соотношениям вида Xn = Теория Новикова-Адяна первоначально была создана для решения известной проблемы Бернсайда о конечно порожденных периодических группах. Если порядок конечной группы равен п, то в ней выполняется тождественное соотношение xn = 1. Проблема Бернсайда спрашивает обратное: будет ли локально конечной всякая группа, в которой выполняется тождество xn = 1 ? Впервые отрицательное решение этой проблемы было получено в серии совместных работ [7]. В последствии, созданная в [7] теория была усовершенствована и опубликована в монографии [ ], где было доказано, что для всех m > 1 и нечетных п > 665 свободная бернсайдовая группа B(m, п) бесконечна. Свободной бернсайдовой группой B(m, п) периода п и ранга m называется группа, имеющая следующее задание: Ատենախոսությունը նվիրված է խմբերի ո֊պարբերական արտադրյալների ավտոմորֆիզմների ուսումնասիրմանը: Խմբերի ո֊պարբերական արտադրյալը հանդիսանում է ասոցիատիվ, ճշգրիտ և ժառանգական գործողություն: Այն ներմուծվել է Ս. Ի. Ադյանի կողմից, որով լուծվել է Մալցևի պրոբլեմը' բոլոր խմբերի դասում ուղղիղ և ազատ արտադրյալներից տարբեր ասոցիատիվ, ճշգրիտ և ժառանգական գործողության գոյության վերաբերյալ: Տրված Օ խմբի Փ ավտոմորֆիզմը կոչվում է ներքին, եթե գոյություն ունի այնպիսի ց Շ Օ տարր, որ Փ(շ) = gxg-1 կամայական X Շ Օ-ի համար: Այն ավտոմորֆիզմը, որն անշարժ է թողնում Օ֊ի բոլոր նորմալ ենթախմբերը, կոչվում է նորմալ ավտոմորֆիզմ: Սահամնումներից անմիջապես բխում է, որ ցանկացած ներքին ավտոմորֆիզմ նորմալ է: Առանձնակի հետաքրքրություն ունի հակադարձ հարցը, որն ուսումնասիրվել է տարբեր մաթեմատիկոոսների կողմից խմբերի մի շարք դասերի համար: Ապացուցված է, որ մեկից մեծ ռանգի կամայական բացարձակ ազատ խմբի (Աժյոտոցկի, 1980թ.) և կամայական ոչ տրվիալ ազատ արտադրյալի (ՄՆեշչադիմ, 1996թ.) նորմալ և ներքին ավտոմորֆիզմները համընկնում են: Ներքին և նորմալ ավտոմորֆիզմների բազմությունների հավասարությունը ապացուցվել է նաև բացասական էյլերյան բնութագրիչով մակերևույթների ֆունդամենտալ խմբերի համար (Օ.Բոգոպոլսկի, Ե. Կուդրյավցևա, Հ. Ցիշանգ, 2004թ.): Հիշատակման արժանի արդյունքներից է ոչ տրիվիալ վերջավոր նորմալ ենթախմբեր չպարունակող ոչ ցիկլիկ հարաբերական հիպերբոլական խմբերի նորմալ և ներքին ավտոմորֆիզմների խբերի համընկնումը (Ա.Ս՜ինասյան,Դ.Օսին, 2010թ.): Dissertation is devoted to study of automorphisms of n-periodic products of groups. The n-periodic product of groups is associative, exact and hereditary on subgroups operation. This operations was introduced by S.I.Adian. The creation of these operations solved Maltsev’s problem on existence of associative, exact and hereditary on subgroups operation different from direct and free products defined on the class of all groups. For a given group G the automorphism ^ is called inner,if there exists an element g G G, such that ^(x) = gxg-1 for arbitrary x G G. The automorphism that fixes all the normal subgroups of the group G, is called normal automorphism. From definition immediately follows, that each inner automorphism is normal. The inverse question presents special interest. It was studied by different mathematicians for a series of classes of groups. It was proved that for each absolutely free group of rank grater than 1 (A.Lyubotzky, 1980) and for any non-trivial free product (M.Neshchadim, 1996), the normal and inner automorphisms coincide. The equality of sets of normal and inner automorphisms was also proved for fundamental groups of surfaces with negative Euler characteristics (O.Bogopolsky, E. Kudryavtseva, H. Zischang, 2004). It is worth to mention the result about coin¬cidence of normal and inner automorphisms groups of non-cyclic relatively hyperbolic groups containing no non-trivial finite normal subgroups (A.Minasian, D.Osin, 2010). The study of infinite periodic groups is of special interest and was suggested by A.Yu.Olshanskii’ in Kourovka Notebook (1980). Significant results in this direction were obtained only recently. It was proved that each normal automorphism of free Burnside group B(m,n) is inner for odd n > 1003.

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: Խմբերի ո-պարբեբական արտադրյալների ավտոմորֆիզմների մասին: On automorphisms of n-periodic products of groups.
    Uncontrolled Keywords: Գևորգյան Ամիրջան Լյովիկի, Gevorgyan Amirjan Lyoviki
    Subjects: Mathematics and Cybernetics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 23 Mar 2017 10:30
    Last Modified: 23 Mar 2017 10:30
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4350

    Actions (login required)

    View Item