Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Օրթոգոնալ համակարգերով գրիդի ալգորիթմի զուգամիտությունը

Ալեքսանյան, Հայկ Գագիկի (2012) Օրթոգոնալ համակարգերով գրիդի ալգորիթմի զուգամիտությունը. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (375Kb) | Preview

    Abstract

    Гриди (жадный) алгоритм, как способ приближения по разным системам, применялся давно, однако его систематическое исследование в области нелинейной аппроксимации началось в конце 90-х, в многочисленных работах В. Темлякова, С. Конягина, П. Войтащика и других математиков. В настоящее время по этой тематике опубликованы сотни работ, основные результаты которых подытожены в недавно опубликованной монографии В. Темлякова [Т2]. Понятие гриди базиса, для которого гриди алгоритм реализует почти наилучшее т-членное приближение для всех элементов банахово пространства и для всех т = 1, 2,..., было введено С. Конягиным и В. Темляковым [КТ1], которые получили полное описание этих базисов в произвольном банаховом пространстве. Далее было введено понятие квази-гриди базиса, которое в свою очередь было описано Войтащиком в 2000 году. В дальнейшем гриди алгоритм для конкретных систем и различных видов сходимости был рассмотрен многими авторами. Оказалось, что некоторые классические системы, например тригонометрическая система, являются плохими базисами с точки зрения гриди аппроксимации. Однако, как стало ясно из одной работы Т. Тао [Т], сходимость гриди алгоритма тесно связано с нормировкой системы, что эквивалентно рассмотрению гриди алгоритма с весом. Различные результаты, посвященные сходимости гриди алгоритма с весом были получени С. Конягиним и В. Темляковым [КТ2], Т. Корнером [К] и С. Гогяном [С]. Цель работы. Целью диссертации является изучение разных видов сходимости гриди алгоритма с весом по системе Хаара, Франклина, и по тригонометрической системе. В работе используются методы ортогональных рядов, теории рядов Фурье, а также методы теории аппроксимации. Գրիդի (ագահ) ալգորիթմը, որպես մոտարկման մեթոդ ըստ տարբեր համակարգերի վաղուց կիրառվել է, սակայն այդ ուղղությամբ համակարգված հետազոտությունները ոչ գծային մոտավորությունների տեսության շրջանակներում սկիզբ առան 90-ակաե թվականների վերջին' Ս. Կոնյագինի, Վ. Տեմլյակովի, Պ. Վոյտաշչիկի և այլ մաթեմատիկոսների տարբեր աշխատանքներում: Գրիդի բազիսի գաղափարը, որի համար գրիդի ալգորիթմը իրականացնում է համարյա լավագույն անդամանի մոտարկումը տարածության բոլոր էլեմենտների և բոլոր ա = 1, 2,... թվերի համար, ներմուծվել է Ս. Կոնյագինի և Վ. Տեմլյակովի կողմից, որոնք և ստացել են այդ բազիսների նկարագրությունը կամայական բանախյան տարածություններում: Հետագայում մտցվեց նաև քվազիգրիդի բազիսի գաղափարը, որն էլ իր հերթին բնութագրվեց Պ. Վոյտաշչիկի կողմից 2000 թ-՜իե: Հետագայում գրիդի ալգորիթմը կոնկրետ համակարգերի և տարբեր տիպի զուգամիտությունների համար դիտարկվել է բազմաթիվ հեղինակների կողմից: Պարզվեց, որ որոշ դասական համակարգեր, մասնավորապես եռանկյունաչափական համակարգը, լավը չեն գրիդի ալգորիթմի տեսակետից: Սակայն ինչպես պարզ դարձավ Տ. Տաոյի 1997թ.-ի մի արդյունքից, գրիդի ալգորիթմի զուգամիտությունը էապես կախված է համակարգի նորմավորումից, որն էլ իր հերթին համարժեք է որոշակի կշռային գրիդի ալգորիթմի դիտարկմանը: Այլ արդյունքներ, որոնք բացահայտեցին համակարգի նորմավորման և գրիդի ալգորիթմի ըստ նոր' վերանորմավորած համակարգի զուգամիտության կապը, ստացվեցին Ս. Կոնյագինի և Վ. Տեմլյակովի 2003 թ., 19-, Կորեերի 2006 թ., և Ս. Գոգյաեի 2010 թ. կողմից: 2009թ.-ից հեղինակը սկսեց հետազոտել գրիդի ալգոթիմի վարքը ըստ վերանորմավորած Հաարի, Ֆրանկլինի և եռանկյունաչափական համակարգերի: Դրվեց խնդիր, լիովին նկարագրել նշված համակարգերի մոնոտոն նորմավորման և գրիդի ալգորիթմի զուգամիտության միջև կապը: Աշխատանքում օգտագործվում են օրթոգոնալ շարքերի, Ֆուրիեի անալիզի, ինչպես նաև մոտավորության տեսության մեթոդները: Greedy algorithms as a method of approximation by various systems had been used for a long time, but its systematic study in the framework of nonlinear approximations began in late 90-s in various papers by S. Konya- gin, V. Temlyakov, P. Wojtaszek and other mathematicians. The concept of greedy basis, for which the greedy algorithm realizes almost the best m-term approximation for any element of the space and all m =1, 2,..., was intro¬duced and characterized in arbitrary Banach space by S. Konyagin and V. Temlyakov. Then the concept of quasi-greedy basis was introduced, which was described by P. Wojtaszek in 2000. Later the greedy algorithm by specific systems and modes of convergence was studied by many mathematicians. It was observed that some classical systems, e.g. the trigonometric system, behave badly in the sense of greedy algorithms. But as it became clear from one result by work of T. Tao from 1997, convergence of the greedy algorithm on a great extent depends on normalization of the system, which is equivalent to considering a weighted greedy algorithm. Other results, shedding a light on the interplay between system’s normalization and convergence of the greedy algorithm were ob¬tained by S. Konyagin and V. Temlyakov 2003, T. Korner 2006, and S. Gogyan 2010. From 2009 the author started to study the greedy algorithm by renormed Haar, Franklin and trigonometric systems. The problem was posed to de¬scribe the interplay between monotonic renormalizations of these systems and convergence of the greedy algorithm. Methods of orthogonal series, Fourier analysis, and approximation the¬ory are used in the thesis.

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: Օրթոգոնալ համակարգերով գրիդի ալգորիթմի զուգամիտությունը:
    Uncontrolled Keywords: Ալեքսանյան Հայկ Գագիկի, Aleksanyan H.
    Subjects: Mathematics and Cybernetics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 23 Mar 2017 11:13
    Last Modified: 23 Mar 2017 11:13
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4354

    Actions (login required)

    View Item