Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Ֆունկցիաների վերականգնումը տեղաշարժի նկատմամբ ինվարիանտ տարածություններում

Պետրոսյան, Արմենակ Լավրենտիի (2015) Ֆունկցիաների վերականգնումը տեղաշարժի նկատմամբ ինվարիանտ տարածություններում. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (377Kb) | Preview

    Abstract

    The signals we use in real world are called analog signals. They are usually modeled as functions depending on continuous variables of time, space, frequency etc. To be able to process those signals digitally they need to be discretized (analogue to digital conversion) and then converted back to analogue signals after being processed (digital to analogue conversion). Sampling theory is the mathematical model behind this conversion. The classical Sampling theory takes its origins in late 1940’s, in the works of Claude E. Shannon, where he introduced the famous Sampling theorem to communication engineering community [19, 14, 24]. In mathematical and engineering literature the theorem carries several names (Nyquist - Shannon theorem, Shannon - Kotelnikov theorem, Whittaker - Shannon theorem etc) due to being discovered by several people in different countries, decades and even centuries. Since then the Sampling theory has seen a lot of development and become more mathematical, having connections to Functional analysis, Frame theory, Wavelets, Shift-invariant spaces, Time-frequency analysis etc [4, 6, 21, 22, 15, 25]. Dynamical sampling is a new development in Sampling theory, where not only the function (signal) of interest is being sampled but also its evolved states over time. The problem is to recover the initial function by combining these spatio-temporal samples. The dynamical sampling was introduced in the works of A. Aldroubi, J. Davis and I. Krishtal where they consider the problem in spaces l2(Zd) and l2(Z) on uniform grid [2, 3]. They find a reconstruction procedure and treat the issues of additional sampling locations under certain symmetry assumptions on the evolution operator. In the dissertation we consider the problem in shift-invariant spaces, as well as in two dimensional settings l2(Zdl x Zd2) and l2(Z2). In two dimensions there are more options with the symmetries on the evolution kernel. We consider the case with quadrantal symmetry and construct additional sampling sets of minimal size. Also the case when the positions of sampling points is allowed to change at different time levels is considered. If the number of sampling points at any time is constant, a necessary and sufficient condition is found for the existence of positions that allow full recovery of any function by samples taken at those positions. Also, for single measurement per time level, a lower bound on the number of such sampling configurations is computed. Ատենախոսությունում դիտարկվում է դինամիկ նմուշների միջոցով ֆունկցիաների վերականգնման խնդիրը որոշ տեղաշարժերի նկատմամբ ինվարիանտ տարածություններում: Ատենախոսությունում ստացվել են հետևյալ արդյունքները. Տեղաշարժերի նկատմամբ ինվարիանտ տարածություններում ձևակերպվել է դինամիկ նմուշաոության խնդիրը և առաջարկվել է նախնական ֆունկցիայի վերականգման մեթոդ: Ցույց է տրվել, որ այն դեպքում երբ առաջացած մատրիցը շրջելի չէ, ապա լրացուցիչ նմուշների ճիշտ տեղակայման դեպքում հնարավոր է ստանալ միակ և կայուն վերականգնում: Այն դեպքում, երբ տիրույթը վերջավոր է և ժամանակի տարբեր պահերին տիրույթի տարբեր ենթաբազմությունների վրա են ընտրանքերը վերցվում, ստացվել է անհրաժեշտ և բավարար պայման այնպիսի բազմությունների համակարգի գոյության համար, որոնցում վերցված ընտրանքները թույլ են տալիս ցանկացած ֆունկցիայի միարժեք վերականգնումը: Նմուշաոության մի կետանոց բազմությունների դեպքում գտնվել է բոլոր տեղաբաշխումների մինիմալ քանակը, որոնք ապահովում են կամայական ֆունկցիայի վերակագնումը: В диссертации рассматривается проблема восстановления функции по ее ди-намическим выборкам в некоторых пространствах инвариантных относительно сдвигов. Доказываются следующие результаты: формулирована проблема динамических выборок в пространствах инвариантных относительно сдвигов, и получен метод для восстановления функции по ее временно пространственным выборкам. Когда полученная матрица являться вырожденной, показано что при правильном расположении дополнительных выборок можно достичь стабильного восстановления. если область определения конечна и допускается что множества на которых даны отчеты могут меняться со временем, найдено необходимое и достаточное условие для существования системы подмножеств области на которых отчеты однозначно определяют любую функцию. В случае когда множество выборок состоит из одного элемента, которое может меняться со временем, найдено минимальное число конфигураций которые допускают восстановление любой функций.

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: Ֆունկցիաների վերականգնումը տեղաշարժի նկատմամբ ինվարիանտ տարածություններում:
    Uncontrolled Keywords: Պետրոսյան Արմենակ Լավրենտիի
    Subjects: Physics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 11 May 2017 14:31
    Last Modified: 15 May 2017 10:18
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4657

    Actions (login required)

    View Item