Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Մարտինգալ-տարբերության պատահական դաշտեր և նրանց որոշ կիրառությունները

Խաչատրյան, Լինդա Ալբերտի (2014) Մարտինգալ-տարբերության պատահական դաշտեր և նրանց որոշ կիրառությունները. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (313Kb) | Preview

    Abstract

    Задача установления классических предельных теорем (центральная, локальная, функциональная предельные теоремы, закон повторного логарифма и т.д.) для сумм зависимых случайных величин является одной из самых актуальных в современной теории вероятностей. Изучение случайных процессов с зависимыми компонентами (процессы с перемешиванием, мартингалы и т.д.) началось еще в середине прошлого века и со временем стало во многом состоявшейся теорией (см., например, монографии Ибра¬гимова и Линника [16], Холла и Хейде [4], Нахапетяна [11]), чего нельзя сказать о случайных полях. Задача распространения теории предельных теорем на многомерные объекты (случайные поля) диктуется как внутренними потребностями самой теории случайных полей, так и проблемами математической статистической физики. Отметим, например, вопросы эквивалентности гиббсовских ансамблей, поведение суммарного спина в критической точке и т.д. Среди методов, используемых при доказательстве предельных теорем, одним из основных является мартингальный метод. Однако данный метод, прекрасно зарекомендовавший себя в одномерных задачах, в применении к случайным полям пока еще не столь продуктивен. Трудности применения мартингального метода в многомерных задачах обусловлены, прежде всего, тем, что определение мартингала существенным образом использует свойство полной упорядоченности действительной прямой, тогда как прастранственные структуры этим свойством не обладают. Первоначально при построении многомерных мартингалов рассматривались семейства случайных величин, параметризованные элементами возрастающей последовательности некоторого направленного множества (см., например, работы Крикеберга [6], Хелмса [5] и Чоу [2]). Далее, Кароли и Уолш ( [1]) для случая размерности 2 предложили рассматривать стохастические семейства случайных величин, параметризованные возрастающей последовательностью прямоугольников в первой четверти вещественной плоскости. Этот же подход применялся и в больших размерностях (см., например, работы Тджостейма [15], Иванова и Мерцбаха [8], Иллига и Траун-Вана [7]). В отмеченных работах основной целью являлось установление различных теорем сходимости для многомерных мартингалов, тогда как вопрос справедливости классических предельных теорем, верных для сумм независимых случайных величин, для таких мартингалов практически не рассматривался. Դասական սահմանային թեորեմների (կենտրոնական, լոկալ և ֆունկցիոնալ սահմանային թեորեմները, կրկնական լոգարիթմի օրենքը) ապացուցման խնդիրը ժամանակակից հավանականությունների տեսությունում ամենահրատապ խնդիրներից մեկն է: Կախյալ բաղադրիչներով պատահական պրոցեսների (խառնուրդ հատկությունով օժտված պրոցեսներ, մարտինգալներ և այլն) ոաումնասիրությունը սկսվել է անցյալ դարի կեսերից և ժամանակի ընթացքում բերվել է բազմաթիվ տեսակետներից լիարժեք տեսության կառուցմանը, սակայն նույնը չենք կարող ասել պատահական դաշտերի մասին: Սահմանային թեորեմների տեսության բազմաչափ օբյեկտների (պատահական դաշտեր) տարածման խնդիրը թելադրվում է ինչպես պատահական դաշտերի տեսության ներքին կարիքներով, այնպես էլ մաթեմատիկական վիճակագրական ֆիզիկայի խնդիրներով: Նշենք, օրինակ, Գիբսյան անսամբլների համարժեքության խնդիրը, կրիտիկական կետում գումարային սպինի ասիմպտոտիկ վարքը և այլն: Մարտինգալային մեթոդը սահմանային թեորեմների ապացուցման հիմնական մեթոդներից մեկն է: Միաժամանակ այս մեթոդը, որը մեծապես աշխատունակ է մի չափանի խնդիրների շրջանակներում, բազմաչափ խնդիրների դեպքում դեռևս այդքան էլ արդյունավետ չէ: Սակայն վերջին ժամանակներում հրապարակված մի շարք աշխատանքներում ցույց է տրված, որ օգտագործելով մարտինգալ֊տարբերության պատահական դաշտի գաղափարը, մարտինգալների տեսությունը կարելի է էապես զարգացնել բազմաչափ դեպքի համար: Մարտինգալ֊տարբերության պատահական դաշտերը հետաքրքիր են տարբեր տեսակետներից: Պարզվում է, որ հայտնի սահմանային թեորեմները, որոնք ճիշտ են անկախ պատահական մեծությունների գումարների համար, ճիշտ են նաև նշված դաշտերի համար: Դեռ ավելին, մարտինգալ֊տարբերության պատահական դաշտերը կարող են կիրառվել մաթեմատիկական վիճակագրական ֆիզիկայի որոշ խնդիրներում: Ատենախոսությունում մարտինգալային մեթոդի զարգացման հիման վրա ուսումնասիրվում է պատահական դաշտերի ասիմպտոտիկ հատկությունները: Արդյունքները կիրառվում են մաթեմատիկական վիճակագրական ֆիզիկայի որոշ խնդիրներում: The problem of establishing of classical limit theorems (the central, local, functional limit theorems, the law of iterated logarithm) is one of the most urgent problems in modern probability theory. Investigation of stochastic processes with dependent components (mixing processes, martingales, etc.) has started in the middle of the last century and with the lapse of time led to construct the theory, which is of full value in many positions. The same is not true for random fields. The problem of extending the theory of limit theorems to multidimensional case (random fields) is dictated by both the internal needs of the theory of random fields and the problems of mathematical statistical physics, in particular, the problems of equivalence of Gibbs ensembles, the behavior of the total spin at the critical point, etc. One of the main methods used in the proof of limit theorems is the martingale method. At the same time this method which is very efficient for one-dimensional problems, in the multidimensional case is not yet so productive. However recently published works shown that using the notion of martingale- difference random field one can significantly develop the martingale method in multidimensional case. The martingale-difference random fields are interesting from the various points of view. Basic limit theorems which hold for sums of independent random variables are valid for such fields. Moreover martingale-difference random fields could be applied in some problems of the mathematical statistical physics. In this thesis by developing the martingale method we study asymptotic properties of random fields. The results are applied to some problems of mathematical statistical physics.

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: Մարտինգալ-տարբերության պատահական դաշտեր և նրանց որոշ կիրառությունները:
    Uncontrolled Keywords: Խաչատրյան Լինդա Ալբերտի
    Subjects: Physics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 12 May 2017 15:05
    Last Modified: 12 May 2017 15:05
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4665

    Actions (login required)

    View Item