Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Ընդհանրացված անալիտիկ ֆունկցիաներով ծնված մակերևույթների կառուցվածքների մասին

Բեկնազարյան, Ալեքսանդր Ֆելիքսի (2015) Ընդհանրացված անալիտիկ ֆունկցիաներով ծնված մակերևույթների կառուցվածքների մասին. PhD thesis, ԵՊՀ.

[img]
Preview
PDF (Abstract)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (142Kb) | Preview

    Abstract

    В первой половине прошлого века работами [1], [2], [3] датского математика Харальда Бора была основана теория почти периодических функций, которая в дальнейшем была развита работами А. Безиковича, Г. Вейля, В. Степанова и других математиков, и нашла широкие применения в разных областях теории функций, теории дифференциальных уравнений и топологии. Далее в работах [4], [5], [6] А. Уолтера, Р. Кэмерона и Х. Бора было показано, что решения алгебраических уравнений, коэффициенты которых являются почти периодическими функциями на вещественной оси К, а дискриминант отделим от нуля всюду на К, также являются почти периодическими функциями. Идея Б. Римана об определении и изучении поверхностей, впоследствии названными римановыми поверхностями, на которых многолистные решения алгебраических уравнений с аналитическими коэффициентами становятся однолистными, естественным образом заимствуется при исследовании решений алгебраических уравнений с аналитическими почти периодическими коэффициентами и ведет к возникновению так называемых поверхностей Бора-Римана. Таким образом, решения алгебраических уравнений с аналитическими коэффициентами приводят к возникновению римановых поверхностей. Решения же алгебраических уравнений с почти периодическими коэффициентами приводят к возникновению поверхностей Бора-Римана, которые являются естественным аналогом римановых поверхностей. Со второй половины прошлого века, активно развивающаяся теория дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами с еще большим импульсом возобновила необходимость изучения аналитических почти периодических функций. Весьма удобным и действенным аппаратом для таких изучений послужили так называемые обобщенные аналитические функции, введенные в 1956 году Р. Аренсом и И. Зингером в работе [7]. Предложенный ими метод не только предоставил новое толкование известных теорем Г. Бора, А. Безиковича, Б. Левина, Дж. Фаварда и других из теории почти периодических функций, но также позволил с единой точки зрения взглянуть на теорию по¬чти периодических аналитических функций и теорию аналитических функций в единичном круге. Появление обобщенной плоскости и разворачиваемой на ней теории обобщенных аналитических функций стало возможным благодаря следующей известной дихотомии для произвольной подгруппы Г аддитивной группы вещественных чисел К: либо Г изоморфна группе целых чисел Ъ, либо Г плотна в К в евклидовой топологии. Как известно, комплексная плоскость С, на которой развивается классическая теория аналитических функций комплексного переменного, состоит из чисел вида г = £• г, где г-некоторое неотрицательное вещественное число, а £ принадлежит единичной окружности Т комплексной плоскости. Используя тот факт, что в данном представлении единичная окружность Т является группой характеров аддитивной группы целых чисел Ъ: 1956 թվականին Ռ. Արենսը և Ի.Մ. Զինգերը ներմուծեցին ընդհանրացված անալիտիկ ֆունկցիաների գաղափարը, որոնք հնարավորություն ընձեռեցին ստանալ նոր առանձնահատկություններ' կիրառելով անալիտիկ ֆունկցիների տեության դասական մեթոդները: Ավելին, այդ հեղինակների կողմից առաջարկված մոտեցումը հնարավորություն ընձեռեց նորովի մեկնաբանել հայտնի թեորեմներ անալիտիկ համարյա պարբերական ֆունկցիների տեսությունից, որը հիմնադրելէ Հ. Բորը: Այսպիսով' ընդհանրացված անալիտիկ ֆունկցիաների տեսությունը դարձավ անալիտիկ համարյա պարբերական ֆունկցիների և միավոր շրջանում անալիտիկ ֆունկցիաների համատեղ ուոսւմնասիրման միասնական գործիք: Ատենախոսությունում հետազոտվել են ընդհանրացված անալիտիկ ֆունկցիաներով ծնված մակերևույթների կառուցվածքները և ստացվել են հետևյալ հիմնական արդյունքները. Ներկայացված է ընդհանրացված հարթության կառուցվածքի նկարագիրը և տրված են ընդհանրացված հարթության և նրա ենթաբազմությունների, ինչպես նաև ընդհանրացված հարթությունը ծածկող տարածությունների վրա առաջացող տարբեր տոպոլոգիաների բնութագիրը և համեմատությունը: Նկարագրված է ընդհանրացված հարթության վրա ընդհանրացված անալիտիկ ֆունկցիաների զրոների բազմությունը: Սահմանված է Բոր-Ռիմանի մակերևույթի գաղափարը և ներկայացված են նրա հիմնական հատկությունները: Տրված է Բոր-Ռիմանի մակերևույթների վրա խմբային կառուցվածքի սահմանման մեթոդ, որով չճուղավորված վերջավոր թերթանի ծածկող արտապատկերումները վեր են ածվում խմբային հոմոմորֆիզմների' Բոր-Ռիմանի մակերևույթից դեպի ընդհանրացված հարթության ենթաբազմություններ: Նկարագրված են ստացված խմբերի կառուցվածքները տոպոլոգիական իզոմորֆիզմի ճշտությամբ: Սահմանված է Բոր-Ռիմանի հանրահաշվական մակերևույթի գաղափարը և ապացուցված է, որ ընդհանրացված հարթության յուրաքանչյուր չճուղավորված վերջավոր թերթանի ծածկող արտապատկերում հանդիսանում է Գալուայի հանրահաշվական ծածկող արտապատկերում: In 1956 R. Arens and I.M. Singer introduced the notion of generalized analytic functions which allowed to obtain new features while applying the classical techniques from the theory of analytic functions. Furthermore, the method suggested by those authors allowed to give a new treatment of the well-known theorems from the theory of analytic almost periodic functions first studied by H. Bohr. Thus, the theory of generalized analytic functions became a unified tool for studying both the theory of almost periodic functions and the theory of analytic functions in the unit disc. The structures of the surfaces generated by generalized analytic functions are studied in the thesis and the following main results are obtained: The structure of the generalized plane is presented and the characterizations as well as the comparison of different topologies arising on the generalized plane and on its subspaces are given. The sets of zeros of generalized analytic functions are described. The notion of the Bohr-Riemann surface is introduced and its main properties are established. The method of defining a group structure on the Bohr-Riemann surfaces turning the unbranched finite sheeted coverings into the group homomorphisms from the Bohr-Riemann surfaces to the punctured generalized plane as well as the structures of those groups up to a topological isomorphism are presented. The notion of an algebraic Bohr-Riemann surface is defined and it is proved that every unbranched finite sheeted covering of the punctured generalized plane is an algebraic Galois covering. Using the notions of analytic paths and equivalent points on the Bohr- Riemann surfaces, the counting function v, which assigns to each point of the Bohr-Riemann surface the number of its equivalent points, is defined. The constructive proof of the version of the covering homotopy theorem is given. Using that theorem it is proved that the function v is locally constant on the Bohr-Riemann surfaces.

    Item Type: Thesis (PhD)
    Additional Information: Ընդհանրացված անալիտիկ ֆունկցիաներով ծնված մակերևույթների կառուցվածքների մասին:
    Uncontrolled Keywords: Բեկնազարյան Ալեքսանդր Ֆելիքսի
    Subjects: Physics
    Divisions: UNSPECIFIED
    Depositing User: NLA Circ. Dpt.
    Date Deposited: 12 May 2017 15:19
    Last Modified: 17 May 2017 10:35
    URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/4668

    Actions (login required)

    View Item