Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Մարկովյան պրոցեսները թերմոդինամիկայում և ստատիստիկայում

Մարտիրոսյան, Նարեկ Հենրիկի (2017) Մարկովյան պրոցեսները թերմոդինամիկայում և ստատիստիկայում. PhD thesis, Ա. Ի. Ալիխանյանի անվան ազգային գիտական լաբորատորիա (Երևանի ֆիզիկայի ինստիտուտ).

[img]
Preview
PDF (Thesis)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (2067Kb) | Preview
    [img]
    Preview
    PDF (Abstract)
    Available under License Creative Commons Attribution.

    Download (704Kb) | Preview

      Abstract

      Markov processes is on of the basic tools in the theory of stochastic systems. They are widely applied for describing open systems in physics (atoms, molecules, mesoscopic systems) and chemistry (reactions). These processes are also frequently used in statistics, e.g. in the Metropolis-Hastings algorithm for generating random samples with a desired distribution. The first task concerns a Markov system driven by a time-periodic external force. The Floquet theory shows that such a system settles into a time periodic state that can resemble the equilibrium state. Here we ask whether the time-integrated probability currents between various states nullify; hence an effectively equilibrium feature holds. The experimental motivation for such problems is found in mechano-chemistry, e.g. in catenane, whose mechanically interlocked molecular architectures is employed in modeling molecular machines. The no-pumping theorem states that the time-averaged probability currents nullify provided that the transition rates have the Arrhenius form. Since this assumption is fairly specific, we identify a new mechanism for the no-pumping theorem. It holds for symmetric time-periodic external fields and the so called destination rates. This mechanism also leads to an approximate no-pumping theorem for the Fokker-Planck rates. The second task studied here is to describe the non-equilibrium steady state of a Markov system in contact with two different thermal baths. The system contains slow and fast variables, external fields act only on the slow variable, while its transition rates have the Arrhenius form (alternatively, the slow variables live on a tree). These three conditions lead to the existence of a free energy in this nonequilibrium system. In contrast to the equilibrium situation, the non-equilibrium free energy can increase with temperature. This conceptually interesting feature leads to new mechanisms of cooling. The third task concerns designing a heat engine that can employ (almost) arbitrary resources. The major limitations for the existing models of heat engines is that their functioning demands external control, or this functioning is tuned to specific thermal baths. In this work a model for an adaptive heat engine is proposed and motivated. Such an engine tunes itself to given baths; hence it is able to extract work from baths at unknown (but different) temperatures. This adaptive feature should enforce small-scale heat-engines employed for energy harvesting at the microscale. Բազմաթիվ համակարգեր բնութագրվում են Մարկովյան հատկությամբ՝ համակարգի ապագա վիճակների հավանականությունը կախված է ներկա վիճակից և անկախ է անցյալ վիճակների պատմությունից` ապագան կախված է ներկայից և անկախ է անցյալից: Սա նաև կոչվում է հիշողության բացակայության հատկություն: Մարկովյան պրոցեսները (ռուս մաթեմատիկոս Անդրեյ Մարկովի անունով) հանդիսանում են պատահական պրոցեսների առավել կարևոր բաժինը և ունեն բազմաթիվ կիրառություններ: Այսպիսի տարածվածության ներքին պատճառն այն է, որ գրեթե ցանկացած (սահուն և վերջավոր հիշողությամբ) պատահական պրոցես կարելի է ներակայացնել որպես Մարկովի պրոցես կամ նրա ենթամաս։ Աշխատանքը նվիրված է Մարկովյան դինամիկայով նկարագրվող փոքր մասշտաբներում աշխատող թերմոդինամիկական համակարգերի համար տեսական մոդելների ուսումնասիրությանը, ինչպես նաև Մարկովյան պրոցեսի կիրառությանը ստատիստիկայում։ Մասնավորապես՝ ուսումնասիրվել է Մարկովյան շղթայի վրա հիմնված Մետրոպոլիս-Հաստինգս ալգորիթմի բաղկացուցիչ մաս կազմող հավասարաչափ պսևդո-պատահական թվերի գեներատորների (ՊՊԹԳ) ստատիստիկական հատկությունները, համեմատվել են Mersenne Twister-ի և MIXMAX-ի ստատիստիկական հատկությունները: Շատ երևույթներ կարող են նկարագրվել դետերմինիստիկ պրոցեսներով, երբ համակարգի ժամանակային զարգացման մեջ պատահականություն չկա, այսինքն՝ նույն սկզբնական պայմանները միշտ տալիս են նույն վերջնական արդյունքները: Ի տարբերություն դետերմինիստիկ մոտեցման, ստոխաստիկ (պատահական) պրոցեսների դեպքում ժամանակի ցանկացած պահին համակարգը նկարագրող մեծությունները ունեն հավանականային բաշխում, այսինքն՝ նույն սկզբնական պայմաններով համակարգը կարող է ունենալ տարբեր վերջնական վիճակներ: Ստոխաստիկ պրոցեսներում թե՛ ժամանակը, թե՛ համակարգի վիճակների բազմությունները կարող են լինել անընդհատ կամ դիսկրետ: Այս թեզում դիտարկվում է անընդհատ ժամանակով, դիսկրետ վիճակների բազմությամբ Մարկովյան համակարգեր: Այսպիսի համակարգի ամենահայտնի օրինակն է Բրոունյան շարժումը։ Բրոունյան շարժման տեսական ուսումնասիրությունները, որոնք կատարվել են Այնշտայնի, Սմոլուխովսկու և Լանժեվինի կողմից, էականորեն նպաստեցին ստոխաստիկ պրոցեսների (այդ թվում Մարկովյան) տեսության առաջացմանը և զարգացմանը: Марковские процессы широко применяются в описании открытых, неравновесных систем, включая атомные, молекулярные и мезоскопические системы, а также химические реакции. Эти процессы также широко используются в статистике. К примеру в рамках алгоритма Метрополиса-Гастингса они привлекаются для генерации случайных выборок с заданным распределением. В рамках первой задачи исследуется Марковская система ведомая периодической по времени внешней силой. Проблема же состоит в нахождении условий при которых результирующее периодическое состояние стохастической системы (существование которого гарантируется теоремой Флоке) имеет эффективно равновесное свойство зануления средних (по времени) потоков вероятности. Экспериментальный аналог подобных систем -- это макромолекулы типа катенана используемые в механохимии. Основной существующий результат в этой области касался систем с Аррениусовскими переходами. Мы установили свойство зануления потоков для другого класса матриц переходов, а также показали приближенную применимость этого результата для стандартной модели Броуновского движения (уравнение Фоккера-Планка). Вторая задача исследует неравновесное стационарное состояние Марковской системы в контакте с двумя разными термальными резервуарами. Показывается, что такое неравновесное состояние допускает введение свободной энергии (т.е. потенциала для изотермальной работы) при соблюдении следующих трех условий: система содержит быстрые и медленные компоненты; внешние силы совершающие работу действуют только на медленные компоненты; динамика последних описывается Аррениусовскими переходами или же содержит конфигурационные ограничения соответствующие дереву. Неравновесная свободная энергия (в отличии от равновесной) может быть растущей функцией температуры. Это свойство расширяет наши представления об обобщениях равновесной термодинамики, а с практической точки зрения приводит к новым механизмам охлаждения.

      Item Type: Thesis (PhD)
      Additional Information: Մարկովյան պրոցեսները թերմոդինամիկայում և ստատիստիկայում: Марковские процессы в термодинамике и статистике.
      Uncontrolled Keywords: Մարտիրոսյան Նարեկ Հենրիկի, Mартиросян Нарек Генрикович
      Subjects: Physics
      Divisions: UNSPECIFIED
      Depositing User: NLA Circ. Dpt.
      Date Deposited: 30 Aug 2017 13:02
      Last Modified: 30 Aug 2017 13:02
      URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/5522

      Actions (login required)

      View Item