Հայաստանի ատենախոսությունների բաց մատչելիության պահոց = Open Access Repository of the Armenian Electronic Theses and Dissertations (Armenian ETD-OA) = Репозиторий диссертаций Армении открытого доступа

Исследование некоторых топологически нетривиальных объектов в рамках квантовой механики

Петросян, Мара Гасиковна (2017) Исследование некоторых топологически нетривиальных объектов в рамках квантовой механики. PhD thesis, ЕГУ.

[img]
Preview
PDF (Thesis)
Available under License Creative Commons Attribution.

Download (2051Kb) | Preview
    [img]
    Preview
    PDF (Abstract)
    Available under License Creative Commons Attribution.

    Download (816Kb) | Preview

      Abstract

      Проблема генерации монополей является частью более общей проблемы поиска виттеновской дуальности в рамках нерелятивистской квантовой механики. Согласно виттеновской дуальности, калибровочные теории с сильной связью асимптотически эквивалентны теориям, в которых с одной стороны действует слабая связь, с другой – присутствуют топологически нетривиальные объекты в виде монополей и дионов. Виттеновская дуальность открывает путь к проведению надежных вычислений в теориях с сильной связью, т.е. к решению одной из важнейших задач теоретической физики. В рассматриваемом нами механизме генерации монополей исходной моделью с сильной связью является изотропный осциллятор. Структура этого механизма такова, что остается в силе и после добавления к осцилляторному потенциалу произвольной функции, не нарушающее условие конфаймента, т.е. речь идет о достаточно универсальном механизме. Отправной точкой генерации монополей и дионов являются небиективные преобразования Гурвица, которые связаны с алгеброй Клиффорда и удовлетворяют, важному с физической точки зрения, условию Эйлера. Уникальность преобразования Гурвица состоит в том, что оно переводит проблему осциллятора в задачу Кеплера-Кулона. Однако, такой переход возможен лишь для осцилляторных пространств с размерностью 2,4, и 8. Преобразования Гурвица переводят эти размерности в размерности 2,3и5, покрывающие весьма широкий спектр проблем теоретической физики. В самом деле, в пространстве с размерностью 1+2в настоящее время успешно развивается квантовая теория гравитации и теория анионов. Очень существенно, что в эту тройку входит и размерность 3,которая в особых комментариях не нуждается. Наконец, пространства с размерностью 5 являются полигоном для формулировки теории Калуца-Клейна, внедрения в структуру теории группы де Ситтера, развития теории монополя Янга, высокоразмерной теории эффекта Холла и построения более сложных, чем было отмечено выше, моделей квантовой гравитации. При отображениях (2,4,8)→(2,3,5) теряются некоторые степени свободы. Этим степеням свободы мы придаем фундаментальную роль, используя их для построения калибровочных пространств на конфигурационными пространствами (2,3,5). Генерацию электрического заряда обеспечивает преобразования Гурвица, поскольку именно оно переводит осциляторные модели в кулоновские. Генерация магнитного заряда производится преобразованием, связывающим осцилляторные пространства с калибровочными. В результате этих математических преобразований рождаются такие топологически нетривиальные объекты как связанная система заряд-дион и SU(2) монополь Янга-Кулона. Переход от осцилляторных моделей к топологически нетривиальным системам несет в себе концептуально важный элемент дуальности, состоящий в том, что энергия и константа связи осциллятора трансформируютса в константу связи и энергию топологически нетривиальных систем. Таким образом, осциллятор не тождествен, а дуален топологически нетривиальных системам. Указанный факт есть основополагающее свойство оператора Шредингера, объясняющее связь проблемы генерации дионов с виттеновской дуальностью. Рассматриваемые нами в диссертации системы в основном являются суперинтегрируемыми, т.е. системами, для которых число независимых интегралов движения равно 2N-1 (задача МИК-Кеплера, восьмимерный изотропный осциллятор и монополь Янга-Кулона) и 2N-2 (обобщенная задача МИК-Кеплера и четырехмерный двойной сингулярный осциллятор), где N - число степеней свободы. В первом случае систему называют максимально, а во втором – минимально суперинтегрируемой системой. Суперинтегрируемые системы обладают исключительно важным свойством: они допускает разделение переменных в уравнениях Гамильтона-Якоби и Шредингера в нескольких ортогональных системах координат. Выбор конкретной системы координат диктуется соображениями удобства, например, в спектроскопической задаче водородоподобных систем используется сферическая система координат, при рассмотрении эффекта Штарка – параболическая система координат, а в двухцентровой задаче – вытянутые сфероидальные координанты. Такое обилие разделения переменных в уравнении Шредингера для суперинтегрируемых систем приводит к задаче о межбазисных разложении, т.е. возникает необходимость перехода от одной волновой функции к другой. И, наконец, последние годы достаточно интенсивно исследуют высокоразмерные точно решаемые модели в пространствах постоянной кривизны, к которым относится и предложенная нами альтернативная модель сферического осциллятора Хиггса, которую можно пременять для построения теории квантового эффекта Холла в высших размерностях. Ատենախոսությունը նվիրված է ոչ ռելյատիվիստական քվանտային մեխանիկայի Շրջանակներում տոպոլոգիապես ոչ զրոյական որոշ ինտեգրվող համակարգերի ուսումնասիրությանը: Մինչև անցյալ դարի 80-ական թվականների սկիզբը տոպոլոգիապես ոչ զրոյական օբյեկտների, ինչպիսին են անիոնը դիոնը (մասնիկ, որի սպինը [0, 1] միջակայքում կարող է ունենալ ցանկացած կոտորակային արժեք), մագնիսական մոնոպոլը և դիոնը (մասնիկ, որը օժտված է ինչպես էլեկտրական, այնպես էլ մագնիսական լիցքով), գեներացիան հանդիսանում էր դաշտի քվանտային տեսության մենաշնորհը: Ոչ ռելյատիվիստական քվանտային մեխանիկայի շրջանակներում վերոնշյալ տոպոլոգիապես ոչ զրոյական համակարգերի գեներացիան հիմնված է այսպես կոչված երկգծային ոչ բիյեկտիվ ձևափոխությունների վրա: Այդ ձևափոխությունների էությունը կայանում է նրանում, որ երկու, երեք և ութ չափանի իզոտրոպ օսցիլյատորներից համապատասխանաբար ստացվում է երկչափ անիոն (Լևի- Չիվիտայի ձևափոխություն), ՄԻԿ-Կեպլերի կամ լիցք-դիոն ինտեգրվող համակարգ (Կուստաանհեյմո-Շտիֆելի ձևափոխություն) և Յանգ-Կուլոնի SU(2) մոնոպոլ (Հուրվիցի ձևափոխություն): Տոպոլոգիապես ոչ զրոյական վերոնշյալ օբյեկտների գեներացիան երկու, երեք և ութ չափանի իզոտրոպ օսցիլյատորներից ընդունված է անվանել դիոն-օսցիլյատորային դուալություն, իսկ հատուկ դեպքերում, երբ երկու, երեք և ութ չափանի իզոտրոպ օսցիլյատորներից գեներացվում են երկչափ, եռաչափ և հինգ չափանի Կեպլեր-Կուլոնի խնդիրները, անվանում են կուլոն օսցիլյատորային դուալություն կամ կուլոն-օսցիլյատորային անալոգիա: Ատենախոսության մեջ դիտարկվող օբյեկտները հանդիսանում են ինտեգրվող համակարգերի ենթադաս, որոնց ընդունված է անվանել սուպերինտեգրվող համակարգեր: N ազատության աստիճան ունեցող դասական համակարգը ըստ Լիուվիլի հանդիսանում է լրիվ ինտեգրվող, եթե հայտնի են N ֆունկցիոնալ անկախ շարժման ինտեգրալներ, որոնց համար Պուասոնի փակագծերը զրո են: Քվանտային մեխանիկայում համակարգը կոչվում է ինտեգրվող, եթե գոյություն ունեն N-1 հատ հանրահաշվորեն անկախ օպերատորներ, որոնք կոմուտատիվ եմ ինչպես համիլտոնիանի, այնպես էլ միմյանց հետ: Սուպերինտեգրվող համակարգերի համար անկախ շարժման ինտեգրալների թիվը կարող է լինել ինչպես 2N-1, այնպես 2N-2: Առաջին դեպքում համակարգը անվանում են առավելագույն, իսկ երկրորդ դեպքում նվազագույն սուպերինտեգրվող համակարգեր: Ընդ որում լրացուցիչ շարժման ինտեգրալները պարտադիր չէ որ կոմուտատիվ լինեն միմյանց հետ: Սուպերինտեգրվող համակարգերը ունեն շատ կարևոր մի հատկություն` Համիլտոն Յակոբիի և Շրեդինգերի հավասարումները փոփոխականների բաժանման մեթոդով ճշգրիտ լուծվում են մի քանի օրոթոգոնալ կոորդինատային համակարգերում: Ցույց է տրվել, որ սուպերինտեգրվող ՄԻԿ-Կեպլերի համակարգում տեղի ունի Շտարկի գծային էֆեկտ և, որ հաստատուն համասեռ էլեկտրական դաշտը ամբողջությամբ վերացնում է էներգետիկ մակարդակների այլսեռումը ըստ ազիմուտալ քվանտային թվի: Ցույց է տրվել, որ ընդհանրացված ՄԻԿ-Կեպլերի խնդիրը դուալ է քառաչափ կրկնակի սինգուլյար օսցիլյատորին և, որ դուալության ձևափոխությունը հանդիսանում է Կուստաանհեյմո-Շտիֆելի ձևափոխության ընդհանրացված տարբերակը: Հաստատվել է համապատասխանություն ընդհանրացված ՄԻԿ-Կեպլերի խնդրի և քառաչափ կրկնակի սինգուլյար օսցիլյատորի քվանտային թվերի միջև: Ցույց է տրվել, որ քառաչափ կրկնակի սինգուլյար օսցիլյատորի Շրեդինգերի հավասարման մեջ փոփոխականները բաժանվում են էյլերյան, կրկնակի բևեռային և սֆերոիդալ կոորդինատներում: Ստացվել են այդ համակարգի ալիքային ֆունկցիաների բացահատ արտահայտությունները են էյլերյան և կրկնակի բևեռային կոորդինատներում: Գտնվել է, որ կրկնակի բևեռային բազիսը ըստ էյլերյան բազիսի և հակադարձ վերլուծության գործակիցները արտահայտվում են SU(2) խմբի Կլեբշ-Գորդանի գործակիցներով, որոնց արգումենտներն անալիտիկորեն շարունակված են իրական արժեքների բազմության վրա: Ստացվել է շարժման ինտեգրալը, որը պատասխանատու է սֆերոիդալ կոորդինատներում փոփոխականների բաժանման համար և դուրս են բերվել եռանդամ ռեկուրենտ առընչություններ, որոնց բավարարում են քառաչափ կրկնակի սինգուլյար օսցիլյատորի սֆերոիդալ բազիսը ըստ էյլերյան և կրկնակի բևեռային բազիսների վերլուծության գործակիցները: Լուծված է լիցքավորված մասնիկների ցրման քվանտամեխանիկական խնդիրը Յանգ-Կուլոնի SU(2)մոնոպոլի դաշտում և ստացված է ցրման դիֆերենցիալ կտրվածքի բանաձևը: Դիտարկված է Հիգսի սֆերիկ օսցիլյատորի մոդելի ալտերնատիվ մոդելը, գտնված են սֆերիկ օսցիլյատորի ալտերնատիվ մոդելի քվազիշառավղային ալիքային ֆունկցիաները և էներգետիկ սպեկտրները D-չափանի սֆերայի և D –չափանի երկխոռոչ հիպերբոլոիդի վրա: The thesis is dedicated to the study of some topographic non-trivial integral systems within the framework of non-relativistic quantum mechanics. Up to the early 80s of the last century, the generation of topologically non-trivial objects, such as the anyon and dyon (a particle whose spin can have any fractional value in the range [0.1]), magnetic monopole and a dyon (a particle that has both electrical and magnetic charge) was considered as monopoly of quantum field theory. The generation of above-mentioned topologically non-trivial systems within the framework of non-relativistic quantum mechanics is based on so called non-bijective bilinear transformations. The essence of those transformations is that two-, three-, and eight-dimensional isotropic oscillators transform into two-dimensional anyon (Levi- Civita transformation), MIC-Kepler or charge-dyon integrated system (Kustaanheimo-Stiefel transformation) and Yang-Coulomb SU (2) monopole (Hurwitz transformation), respectively. The generation of above-mentioned topologically non-trivial objects from two-, three-, and eight-dimensional isotropic oscillators is generally called dyon-oscillator duality, and in specific cases, when two-, three-, and eight-dimensional isotropic oscillators generate two-, three-, and five-dimensional Kepler-Coulomb problems, they are called Coulomb-oscillator duality or Coulomb-oscillator analogy. The objects studied in given thesis are a subclass of integrated system, and they are generally called super-integrated systems. A classical system with an N degree of freedom, according to Liouville, is fully integrated, if there are N functionally independent integrals of motion, having zero Poisson brackets. In quantum mechanics, the system is called integrated if there is a N-1 number of algebraically independent operators which are commutative to both Hamiltonian system and in respect to each other. For super-integrated systems the number of independent motion integrals can be both 2N-1 and 2N-2. For the first case, the system can be referred to as maximum, and in the second case, minimum super-integrated systems. Moreover, additional motion integrals are not necessarily commutative in respect to each other. Super-integrated systems have a very important feature: the equations of Hamilton–Jacobi and Shrewdinger are precisely solved in several orthogonal coordinate systems by the method of variable splitting. It is shown that there is a linear Stark effect in a superintegrable MIC-Kepler system, and a constant homogeneous electric field completely removes the degeneracy of energy levels according to the azimuthal quantum number. It is shown that the generalized MIC-Kepler problem is dual to the four-dimensional double-singular oscillator, and the duality transformation is a generalized version of the Kustaanheimo-Stiefel transformation. A correspondence is established between the quantum numbers of the generalized MIC-Kepler problem and the four-dimensional double-singular oscillator. It is shown that the variables in the Schrödinger equation for the four-dimensional double-singular oscillator are separated in Eulerian, double polar and spheroidal coordinate systems. Explicit expressions of the wave functions of this system in Eulerian and double polar coordinates are obtained. It is found that the coefficients of the decomposition of the double polar basis in terms of the Eulerian basis and vice versa are expressed in terms of the Clebsch-Gordan coefficients of the SU(2) group, whose arguments are analytically extended to the number of real values. The integral of motion responsible for the separation of variables in a spheroidal coordinate system, is obtained, and three-term recurrence relations are derived, being complied with by the coefficients of the expansioan of the spheroidal basis of the four-dimensional double-singular oscillator in terms of the Eulerian and double polar basis, respectively. The quantum-mechanical problem of scattering of charged particles in the field of SU(2) Yang-Coulomb monopole is solved and a formula is derived for the differential scattering cross-section. An alternative model of Higgs spherical oscillator is considered; the quasiradial wave functions and energy spectra of the alternative model of a spherical oscillator on a D-dimensional sphere and D -dimensional two-sheeted hyperboloid are found.

      Item Type: Thesis (PhD)
      Additional Information: Տոպոլոգիապես ոչ զրոյական որոշ օբյեկտների ուսումնասիրությունը քվանտային մեխանիկայի շրջանակներում: Study of some topographically non-trivial objects within the framework of quantum mechanics.
      Uncontrolled Keywords: Պետրոսյան Մարա Գասիկի, Petrosyan Mara Gasik
      Subjects: Physics
      Divisions: UNSPECIFIED
      Depositing User: NLA Circ. Dpt.
      Date Deposited: 27 Mar 2018 10:50
      Last Modified: 27 Mar 2018 12:17
      URI: http://etd.asj-oa.am/id/eprint/6914

      Actions (login required)

      View Item